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 難問！？図形の問題
難易度：★★★★
 kazooo
2010/01/30 18:36
ようやくテストから開放されたkazoooです。
 数学オリンピック(知らない人は自分の過去の問題の「2010年1月11日は・・・・」を見ていただくか、ネットで検索を。)の結果が返ってきました。一番下の行に白字で書いておきました。  では気を取り直して問題を。出題遅くなってスイマセン。 くろゴマさん。(1)AB=ACの二等辺三角形ABCの辺AB,AC上に点D,Eをとります。また、DEとBCの交点Fをとります。このとき、B,C,Fの順に一直線上にあるものとします。AB//CGとなるような点GをDF上にとったところ、DG=CGで、四角形DBCGは円に内接する四角形になりました。AD=3,AE=4のとき、CFとBCを求めてください。(三角関数を使うのは禁止) (2)一辺の長さがMの正三角形ABCがあります。今、同じ平面上で△ABCの内部に点Dをとったところ、AD=5,BD=4,CD=3,でした。Mはいくつでしょう？ (3)とうとうオリジナルでない問題を・・・ 2010年度数学オリンピック予選 第5問目 正2010角形があり、そのうちの異なる頂点3つを選んで三角形ABCをつくります。このとき、内角が全て整数度(1°の整数倍)となるようなものの個数を求めよ。ただし、A,B,Cを並び替えただけの組は同じとみなす。 解けた問題だけでも構いませんので。回答お待ちしてます。 結果 12問中6問で合格です。（＾＾） 本選では頑張って落ちてきます 
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回答募集は終了しました。
kazooo
正解です。答えが面倒な形になったのは、問題文の簡潔さを優先したからです。きれいな方法で答えをだしてますね。
kazooo
おみごと。
正解です。オリジナルは全て解かれたようですね。図形の問題は説明が難しいですね。これはその典型的な例だと思ってます。 
kazooo
(2)は文句なく正解です。おめでとうございます。
しかし、(3)は内角が全て等しくても、異なる点を取ればそれは別のものとしてカウントするので、不正解です。残念。 オリジナルを面白いと言ってもらえるとすごいうれしいです。 
ヒミツ
とりあえず①です。
といいつつ、パワポに図を書いて格闘すること3時間 解けてよかった  ってあっているのか不安ですが…②と③はさっぱりで～す 
kazooo
バッチリですよ。
 解いてよかったと思われるような問題を作れて、こちらもうれしいです。 ちなみに、(1)は円に内接する四角形 (2)は点と点の距離の公式、解の公式 (3)は円周角までの知識がいります。 範囲は(1)>(3)なのに、難易度は(1)<(3)。これが数学オリンピックの恐ろしさ・・ 
いえいえ、Upしてくださっただけでもうれしいです
こちらもそろそろテストなので答えるのに返信するのに多少時間がかかりますが、ご了承していただけたらと思います 
kazooo
数学オリンピックと堂々と書いてあるのでお分かりだと思いますが、自分は高校生です。もちろん3年生じゃないですけど。
解答を楽しみに待っております。 
kazooo
おめでとうございます。正解です。
とうとう一人目の覇者がきました。 kazoooの出した問題を全問正解すると、そのクイズの覇者になります。 自分はオリンピック当日にああだこうだ考えてやっとのことで正解できた覚えが・・・
kazooo
とりあえずxを出すところは、相似比でやった方が速いのでは・・・
△ADEと△CGEの。 正解です。おめでとうございます。 詳しい解答は正解発表を待っていただく形で・・・ 余談ですが、夢で、自分の問題に「新着解答あり」と書いてある夢を見ました。3時半に目が覚めてしまって、「誰がこの時間に解答を・・・」と思って見たら正夢でした。 
kazooo
正解です。
自分もそうしたのですが、先にx,yを出してから、どれかに代入すると楽ですよ。問題を出題する側としては、このあとに各点とDの距離を全て確認するので、かなり根性がいります。 この計算は複雑すぎる・・・
kazooo
全問正解おめでとうございます。
二人目の覇者です。きっちりと証明してくれたみたいですね。3問合わせて10分足らずでやりきるとは・・ 実際に会場でこの問題解いてるときは素直に楽しめなかったです。 帰ってきて見直してるときは余裕を持ってできるんですが・・・ 本番に弱いのが自分の駄目なところですかね。 オリジナルとオリンピックで見劣りがあるのは仕方がないですよね。
一つだけ聞いていいですか?
この三つは中二の頭で解くことは可能でしょうか? 三角関数とか円に内接する四角形とかチンプンカンプンでパッパラパーなんですけど…
kazooo
三角関数は使わずに(というか使わないほうがいい)すべて解けます。
以下は各問題に必要な知識。白字で。 (1) 二等辺三角形の底角は等しい、円に内接する四角形の向かい合う角の和は180°、相似 (2)かなりネタバレですが、xy座標上の二点間の距離、二次関数の解の公式 (3)円周角の定理、数え上げ 解けなかったらゴメンナサイとしか・・・ ちょっと高校の内容が多すぎるようでしたら、中学校メインであげなおしましょうか？  追記：オリンピックは高校2年までの知識が要りますので、(3)は解けなくても仕方がないです。そればっかりは、ジュニアオリンピック(中学生向け)の問題を持ってこなかったkazoooのせいとしか・・・ 
kazooo
正解です。というより予想外
まさかそんな解き方が・・・一度感服メダルは渡しちゃってるので、別解で。 計算の量を考えると、すごいなぁ。と思います。 解答ありがとうございます。
kazooo
(2)は正解です。
おめでとうございます。(3)は、考え方がちょっと・・・作れる角度はもっとたくさんありますよ。
 『相似,二次関数,円周角の定理,数え上げ』 すべてわかりません＞＜ スイマセン俺の知識が足りないばかりに… 遅くなりましたが数学オリンピック、合格おめでとうございます 本選でもがんばってください!!!
kazooo
ありがとうございます。過去問読んでますが、意味がさっぱり分からなくて落ちるのは必死だと・・・
中学3年相似、円周角高校1年二次関数、数え上げ(C)となっております。 図形問題は奥が深いものですね。本選の問題見てると本当にそう思います。
kazooo
(1)正解です。確かに証明としてはちょっと・・・
せめて等脚台形は説明して・・ ですが、解答が合ってて、説明が間違ってはいないので、正解です。(2)を中一に出す先輩も結構ひどいとは思いますが・・・ (3)は流石にCをやってないと厳しいかもです。
次回から、メダルで基準を分けることとします。
感服メダル→その問題の覇者（その問題の設問を全て正解された方） 、解き方がすごい綺麗な方。金メダル（正解メダル）→設問に正解＆大体の証明（基準は今回の解答をkazoooが発表するときに説明します。） 惜しいメダル→設問に正解、不正解に関係なく証明がもう少しの方、証明があってるんだけど、答えが間違ってる方、その他にも金ではないけど銀よりは上だし・・・という方。 銀メダル（別解メダル）→設問に正解 ナス→ボケ解答など、ナスが欲しい方。出番は皆無かも・・・ という感じです。どうでもいいことでしょうけど・・・ 質問がありましたら、是非どうぞ。
kazooo
下から6行目が=ではなく-ですけど、正解です。
長い方が丁寧な証明と考えれば問題ないですよ。 (1)正解おめでとうございます。
kazooo
数字が微妙なのは、問題文の簡潔さを優先したからです。
とはいえ、どのような比までは三角形内に存在し、かつ辺がきれいな数になるか確認するのはちょっとやる気が出ない・・・
kazooo
不正解です。
なんかバツつけてごめんなさい。もしかして、問題文を読み間違えているのかも・・・？ わかりやすく書き直すと、「正2010角形の頂点3つを選んで三角形をつくったところ、内角は全て自然数°となった。」という感じです。 質問ありましたらどうぞ。
ヒミツ
②はこれで許してやってください
＆表示テクがないのでわかりにくくてゴメンナサイ。 しかも最後までやってない人 だって、卒業してから20年以上経ってるんだもん ←開き直っている人③は使えそうな公式を思い出そうとググっていたら、 たまたま答えを見つけてしまいまして… でも、そこにあった答えは理解不能でした で、これはムリだなっと思ってま～す 正解発表時に理解させていただきたいと思っています ←他力本願な人 では、再上陸をお待ちしております 
kazooo
考え方はバッチグーです。
が、座標の置き方に一工夫を。計算量が結構減りますよ。 離陸するのは今日の夜あたりなので、それまでにあげる予定です。
すいません。訳があって解答を発表できません。
次にこのサイトに来たときにすぐ発表しますので・・・ 解答発表の時に教えてほしい人がいらっしゃいましたら、コメントをいただければ告ぎ来たときに連絡させていただきます。 本当にたくさんの回答をありがとうございました。 感謝！
No.17 のコメントに関して，少しだけやってみました．
(2) の問題で AD = 8, BD = 7, CD = 5 とすると，M はそこそこいい数字になります． AD = 7, BD = 5, CD = 3 とすると，もっときれいな数字になりますが， 「３角形内」とは言い難いですね． それは， ３辺が 8, 7, 3 の３角形において長さ 7 の辺の対角が 60° だからです． 実際 8^2 + 3^2 - 2×8×3×cos(60°) = 64 + 9 - 24 = 7^2 です． なお，すぐ分かるように，8, 7, 5 の３角形も同じです． 8^2 + 5^2 - 2×8×5×cos(60°) = 64 + 25 - 40 = 7^2．
(1)四角形DBCGは、円に内接し、DB//GCより、等脚台形である。よって、BC=DG,∠DGC=∠BCG,∠BCG+∠CBD=180°→∠CBA=180°-∠BCG
ゆえに、∠CGF=∠GCF、∠GCF=180°-∠BCG DG=CGより、BC=CG よって、△ABCと△FGCは底辺が等しく、底角が等しい二等辺三角形三角形なので、合同である。 また、DB//GCより、△FGC∽△FDB･･･①,△ADE∽△CGE･･･② ここで、CF=a,BC=b,DB=xとおきます。 AB=AC=GF=CF=a,BC=GC=DG=b AB=AD+DBより、a=3+x,x=a-3 ①より、FC:CG=FB:BDよってa:b=a+b:x,b(b+a)=ax･･･③ ②より、AD:AE=CG:CEよって3:4=b:a-3,4b=3a-12･･･④ ③より、b(b+a)=ax=a(a-3),4b(4b+4a)=16a^2-48a ④を代入して、(3a-12){(3a-12)+4a}=16a^2-48a 整理して、5a^2-72a+144=0 (a-12)(5a-12)=0,a=12,12/5 ①より、a>3から、a=12 ④に代入して、b=6 四角形DBCGが等脚台形なのと、△ABC=△FGC、あとは相似で出してもらえれば正解メダルとしています。それ以上の省略はちょっと･･･ 解答発表が遅れたのは、学年末テストがあったからです 言い訳で申し訳ないですがスイマセン。 あと数学オリンピック本選がんばって落ちました。全然分からない問題ばかりだった。
(2)A(0,√3M/2) B(-M/2,0) C(M/2,0)と座標上に一辺がMの正三角形をつくります。D(X,Y)とおくと、
①X^2+(Y-√3M/2)^2=25 ②(X+M/2)^2+Y^2=16 ③(X-M/2)^2+Y^2=9 ②-③より、2MX=7･･･④ ②+③より、①*2-②-③より、2√3MY=M^2-25･･･⑤ ①*M^2より、M^2{X^2+(Y-√3M/2)^2}=25M^2 (MX)^2+(MY-√3M^/2)^2-25M^2=0 代入して、 (7/2)^2+{(M^2-25)/2√3-√3M^2/2}^2-25M^2=0 4倍して、 7^2+(M^2-25-3M^2)/3-100M^2=0 展開して整理して、M^4-50M^2+193=0 よって、M^2=25±√432=25±12√3 Dは△ABCの内部の点なので、M=√(25+12√3) かなり大雑把な方法でも正解メダルにしてます。考え方がちょっと書いてあれば問題ないです。計算が面倒なんで・・・
まず、△ABCで、ある頂点をAとします。AからN個右の頂点との円周角を考えると、1/2*N*360/2010=6N/67 これが整数なので、Nは67の倍数となります。つまり、Aから67個おきの正30角形上の点しか取れないことになります。まとめると、Aを決めるとB,CはAを含む正30角形上にしかとれなということになります。正2010角形で、正30角形は67個存在しますから、求める三角形の個数は、67*30C3=272020となります。
これも円周角と、67個おきの正30角形をいってもらえれば正解メダルにしています。 たくさんのご参加および回答をありがとうございました。
kazoooさん、こんばんは
回答を拝見させていただきました。遅くなりまして申し訳ございませんです ③は、私が見つけた回答とは違いまして、このご回答であれば、 週末にじっくり考えればおバカなpontaでも理解できそうです 楽しませていただきありがとうございました
kazooo
こちらこそご参加ありがとうございました。
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