こんなもんかなぁ。

センターが始まりましたね。受験生には頑張ってもらいたいものです。

いろいろなやり方が考えられますが，これが一番簡単ですね．

題名が「円周率に対抗して」ですから，図形的な関係から示すべきだったでしょうか．
一応その方向でも考えてみました．図が書ければ簡単なのですが，仕方ありません．

もしかしたら，ベンさんの囁きも同じかも知れませんね．

他にも色々な方法があると思いますが、とりあえず2種類の証明を。一部修正・追加しました。赤い部分が該当部分です。

[証明1]
e=lim[n→∞](1+1/n)ⁿ であることを利用する。
二項定理より、
(1+1/n)ⁿ=_nC₀*1/n⁰+_nC₁*1/n¹+_nC₂*1/n²+_nC₃*1/n³+…+_nC_n*1/nⁿ
(1+1/n)ⁿ=1+1+n(n-1)/(2!n²)+n(n-1)(n-2)/(3!n³)+…+n(n-1)…2*1/(n!nⁿ)
(1+1/n)ⁿ=1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)(1-2/n)/3!+…+(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-2)/n)(1-(n-1)/n)/n!
(1+1/n)ⁿ<1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!
(1+1/n)ⁿ<1+1+1/2+1/2*(1/3¹+…+1/3^n-2)
(1+1/n)ⁿ=5/2+1/6*(1-1/3^n-2)/(1-1/3)
(1+1/n)ⁿ=11/4-1/(4*3^n-2)<3
∴e<3

[証明2]
e=lim[n→∞](1+1/n)ⁿ で、二項定理より、
(1+1/n)ⁿ=_nC₀*1/n⁰+_nC₁*1/n¹+…+_nC_n*1/nⁿ
(1+1/n)ⁿ=2+…+_nC_n*1/nⁿ

3項目以降は全て正の数だから、
(1+1/n)ⁿ>1
よってe>1 であるから、
e<3 であれば1<log(3) が成り立つ。
log(3)=∫[1,3](1/x)dx であり、
関数y=1/x の2点(1,1),(3,1/3) における接線の方程式は、それぞれ
y=-x+2,y=-1/9*x+2/3
で、この2直線の交点は(3/2,1/2) である。
よって、y=1/x,x=1,x=3,x軸に囲まれた部分は、5点(1,0),(1,1),(3/2,1/2),(3,1/3),(3,0) を頂点とした五角形を内部に含んでいる。
この五角形の面積は1 であるから、
1<log(3)
∴e<3

発表された解答について、疑問点があります

3-(1/2)^(n-1)<3
とありますけど、極限とったら等号も入ってしまう可能性があるので、評価が少し甘いと思います。
(1/2)^nで抑えるのではなく、3!以降を1/{2*3^(n-2)}にすれば、収束値がたぶん11/4になって、3未満なので可能かと…

証明2も同じで、
それぞれのnについて、(1+1/n)^nは1より大きいのですが、極限をとれば等号が…（略
もう少し細かい議論が必要になると思います。

あと、証明2は
lim[n→∞](1+1/n)^n
が発散しないことが前提として必要だと思います。
問題文に「ネイピア数が3より小さい」と書いているので、
「上の極限が "ネイピア数" というある値に収束していることは既知だ」
と捉えることも可能なのですが…
証明1とは前提が異なるので少し気になりました。

ボムボムさんへ
>3-(1/2)^(n-1)<3
>とありますけど、極限とったら等号も入ってしまう可能性があるので、評価が少し甘いと思います。
言われてみれば確かにそうですね。
>3!以降を1/{2*3^(n-2)}
とすれば確実に3より小さいことが示せるので、証明1については解決すると思います。

>証明2も同じで、
>それぞれのnについて、(1+1/n)^nは1より大きいのですが、極限をとれば等号が…（略
については、証明1と同様に二項展開して、2項目までで2となって、3項目以降も全て正の数なので1よりも大きいとすれば解決すると思います。

>あと、証明2は
>lim[n→∞](1+1/n)^n
>が発散しないことが前提として必要だと思います。
については、もしlim[n→∞](1+1/n)^nが収束しないとなると、ネイピア数そのものが考えられなくなってしまうので、そこまでは気にする必要はないと思うのですが…

とりあえず上の方向で修正するので、また何かあればお願いします

＞neutrinoさん

修正したのでバッチリだと思います

後半部分についてなのですが、証明1は収束するかどうか分かってなくても証明できる方法なので、それと比較すると気になったのです
あくまで僕の印象なので、「収束すること」が絶対に必要というわけでもありませんし、上に書きましたように
「収束することは既知」
として何も書かなくてもいいような気もします

上で書かれていますように
＞lim[n→∞](1+1/n)^nが収束しないとなると、ネイピア数そのものが考えられなくなってしまうので

というのも確かにそうなのですが、ネイピア数の登場の流れとしてはむしろ逆で、先に「3より小さい」ことを証明すると思います。

「(1+1/n)^nがすべてのnについて、ある有限の値より小さい」
⇒「上に有界で単調増加数列は収束する」
⇒「上の数列の極限はある値に収束する」
⇒「それをeと書いてネイピア数と呼ぼう」

というのが元々の流れだと思います。
そして「ある有限の値より小さい」ことを証明するために、証明1を用いて3より小さいことを証明すると思います。

これと比較すると証明2だと
「ある有限の値より小さいことを証明」⇒「ある値に収束するのでそれをeとする」
の後に
「eは3より小さいことを証明」
という感じになって、証明1と比べると循環論法のように感じてしまうのです…
ですので、「ある値に収束」があったほうがいいかな、と思ったのですが…どうしたらいいですかね？

ボムボムさんへ
>「(1+1/n)^nがすべてのnについて、ある有限の値より小さい」
>⇒「上に有界で単調増加数列は収束する」
>⇒「上の数列の極限はある値に収束する」
>⇒「それをeと書いてネイピア数と呼ぼう」
>というのが元々の流れだと思います。
>そして「ある有限の値より小さい」ことを証明するために、証明1を用いて3より小さいことを証明すると思います。

確かにその通りですね。
検索してみたところ例えば http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch01/node15.html
などにそうした話が載っています。
そう考えるとちょっとおかしな出題になってしまったようです
問題文を例えば「lim[n→∞](1+1/n)ⁿ<3 であることを証明せよ」とすれば良かったかもしれませんね

定義として e = lim_[n→∞] (1 + 1/n)ⁿ を用いると，上のようにいろいろ面倒なので，
私の解答では，No.2, No.3 でそれぞれ
　　e = exp(1) = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ..., 　∫₁^e 1/x dx = log e = 1
を使っています．e の歴史や高校教科書の記述にこだわる必要はないと思います．

＞nn)/さん

そうですね、確かにそっちの定義なら
けどそっちからの定義って、あんまり高校生には馴染みがないのでは…

ボムボムさんへ

>そうですね、確かにそっちの定義なら
>けどそっちからの定義って、あんまり高校生には馴染みがないのでは…

自分もそう思って、e=lim[n→∞](n+1/n)ⁿ を敢えて定義に使ったのですが、それが混乱を招いてしまったようです
申し訳ありませんでした

そろそろこの問題もロックしたいのですが、いかがでしょうか?

＞neutrinoさん

いえいえ、全然気にする必要ないですよ
僕の個人的意見ですから

ロックに関してはneutrinoさんのクイズですから、お任せします