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円周率に対抗して…
難易度:
★★★
neutrino
2010/01/16 00:51
いつかの東大の入試問題で円周率が3.05より大きいことを証明するものがありましたね。
似たようなことを同じく数学で非常に重要な定数e (ネイピア数、自然対数の底)で。
問題
ネイピア数が3より小さいことを証明せよ。
【
>>4
参照
】
回答募集は終了しました。
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No.1
ヒミツ
ベン
2010/01/16 15:27
こんなもんかなぁ。
センターが始まりましたね。受験生には頑張ってもらいたいものです。
neutrino
正解です。自分が用意していた考え方ともほぼ一致しています。
そうですね。高校受験も迫ってきていますし、皆さん応援したいですね。
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No.2
ヒミツ
nn)/
2010/01/17 22:16
いろいろなやり方が考えられますが,これが一番簡単ですね.
neutrino
正解です。
今回3というやや緩めの値を設定したのは、いろいろな解法でやりやすいようにしたためですが、この方法ならきつめの値でも簡単にできますね。
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No.3
ヒミツ
nn)/
2010/01/19 14:09
題名が「円周率に対抗して」ですから,図形的な関係から示すべきだったでしょうか.
一応その方向でも考えてみました.図が書ければ簡単なのですが,仕方ありません.
もしかしたら,ベンさんの囁きも同じかも知れませんね.
neutrino
そういったつもりで題名をつけたわけではなかったのですが…
でもその解法も面白いですね
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No.4
neutrino
2010/01/31 00:36
他にも色々な方法があると思いますが、とりあえず2種類の証明を。
一部修正・追加しました。赤い部分が該当部分です。
[証明1]
e=lim[n→∞](1+1/n)
n
であることを利用する。
二項定理より、
(1+1/n)
n
=
n
C
0
*1/n
0
+
n
C
1
*1/n
1
+
n
C
2
*1/n
2
+
n
C
3
*1/n
3
+…+
n
C
n
*1/n
n
(1+1/n)
n
=1+1+n(n-1)/(2!n
2
)+n(n-1)(n-2)/(3!n
3
)+…+n(n-1)…2*1/(n!n
n
)
(1+1/n)
n
=1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)(1-2/n)/3!+…+(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-2)/n)(1-(n-1)/n)/n!
(1+1/n)
n
<1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!
(1+1/n)
n
<1+1+1/2+1/2*(1/3
1
+…+1/3
n-2
)
(1+1/n)
n
=5/2+1/6*(1-1/3
n-2
)/(1-1/3)
(1+1/n)
n
=11/4-1/(4*3
n-2
)
<3
∴e<3
[証明2]
e=lim[n→∞](1+1/n)
n
で、
二項定理より、
(1+1/n)
n
=
n
C
0
*1/n
0
+
n
C
1
*1/n
1
+…+
n
C
n
*1/n
n
(1+1/n)
n
=2+…+
n
C
n
*1/n
n
3項目以降は全て正の数だから、
(1+1/n)
n
>1
よってe>1 であるから、
e<3 であれば1<log(3) が成り立つ。
log(3)=∫[1,3](1/x)dx であり、
関数y=1/x の2点(1,1),(3,1/3) における接線の方程式は、それぞれ
y=-x+2,y=-1/9*x+2/3
で、この2直線の交点は(3/2,1/2) である。
よって、y=1/x,x=1,x=3,x軸に囲まれた部分は、5点(1,0),(1,1),(3/2,1/2),(3,1/3),(3,0) を頂点とした五角形を内部に含んでいる。
この五角形の面積は1 であるから、
1<log(3)
∴e<3
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No.5
ボムボム
2010/01/31 21:33
発表された解答について、疑問点があります
3-(1/2)^(n-1)<3
とありますけど、極限とったら等号も入ってしまう可能性があるので、評価が少し甘いと思います。
(1/2)^nで抑えるのではなく、3!以降を1/{2*3^(n-2)}にすれば、収束値がたぶん11/4になって、3未満なので可能かと…
証明2も同じで、
それぞれのnについて、(1+1/n)^nは1より大きいのですが、極限をとれば等号が…(略
もう少し細かい議論が必要になると思います。
あと、証明2は
lim[n→∞](1+1/n)^n
が発散しないことが前提として必要だと思います。
問題文に「ネイピア数が3より小さい」と書いているので、
「上の極限が "ネイピア数" というある値に収束していることは既知だ」
と捉えることも可能なのですが…
証明1とは前提が異なるので少し気になりました。
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No.6
neutrino
2010/02/01 00:03
ボムボムさんへ
>3-(1/2)^(n-1)<3
>とありますけど、極限とったら等号も入ってしまう可能性があるので、評価が少し甘いと思います。
言われてみれば確かにそうですね。
>3!以降を1/{2*3^(n-2)}
とすれば確実に3より小さいことが示せるので、証明1については解決すると思います。
>証明2も同じで、
>それぞれのnについて、(1+1/n)^nは1より大きいのですが、極限をとれば等号が…(略
については、証明1と同様に二項展開して、2項目までで2となって、3項目以降も全て正の数なので1よりも大きいとすれば解決すると思います。
>あと、証明2は
>lim[n→∞](1+1/n)^n
>が発散しないことが前提として必要だと思います。
については、もしlim[n→∞](1+1/n)^nが収束しないとなると、ネイピア数そのものが考えられなくなってしまうので、そこまでは気にする必要はないと思うのですが…
とりあえず上の方向で修正するので、また何かあればお願いします
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No.7
ボムボム
2010/02/01 01:26
>neutrinoさん
修正したのでバッチリだと思います
後半部分についてなのですが、証明1は収束するかどうか分かってなくても証明できる方法なので、それと比較すると気になったのです
あくまで僕の印象なので、「収束すること」が絶対に必要というわけでもありませんし、上に書きましたように
「収束することは既知」
として何も書かなくてもいいような気もします
上で書かれていますように
>lim[n→∞](1+1/n)^nが収束しないとなると、ネイピア数そのものが考えられなくなってしまうので
というのも確かにそうなのですが、ネイピア数の登場の流れとしてはむしろ逆で、先に「3より小さい」ことを証明すると思います。
「(1+1/n)^nがすべてのnについて、ある有限の値より小さい」
⇒「上に有界で単調増加数列は収束する」
⇒「上の数列の極限はある値に収束する」
⇒「それをeと書いてネイピア数と呼ぼう」
というのが元々の流れだと思います。
そして「ある有限の値より小さい」ことを証明するために、証明1を用いて3より小さいことを証明すると思います。
これと比較すると証明2だと
「ある有限の値より小さいことを証明」⇒「ある値に収束するのでそれをeとする」
の後に
「eは3より小さいことを証明」
という感じになって、証明1と比べると循環論法のように感じてしまうのです…
ですので、「ある値に収束」があったほうがいいかな、と思ったのですが…どうしたらいいですかね?
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No.8
neutrino
2010/02/01 21:00
ボムボムさんへ
>「(1+1/n)^nがすべてのnについて、ある有限の値より小さい」
>⇒「上に有界で単調増加数列は収束する」
>⇒「上の数列の極限はある値に収束する」
>⇒「それをeと書いてネイピア数と呼ぼう」
>というのが元々の流れだと思います。
>そして「ある有限の値より小さい」ことを証明するために、証明1を用いて3より小さいことを証明すると思います。
確かにその通りですね。
検索してみたところ例えば
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch01/node15.html
などにそうした話が載っています。
そう考えるとちょっとおかしな出題になってしまったようです
問題文を例えば「lim[n→∞](1+1/n)
n
<3 であることを証明せよ」とすれば良かったかもしれませんね
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No.9
nn)/
2010/02/02 12:39
定義として e = lim
[n→∞]
(1 + 1/n)
n
を用いると,上のようにいろいろ面倒なので,
私の解答では,No.2, No.3 でそれぞれ
e = exp(1) = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ..., ∫
1
e
1/x dx = log e = 1
を使っています.e の歴史や高校教科書の記述にこだわる必要はないと思います.
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No.10
ボムボム
2010/02/02 18:07
>nn)/さん
そうですね、確かにそっちの定義なら
けどそっちからの定義って、あんまり高校生には馴染みがないのでは…
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No.11
neutrino
2010/02/02 23:41
ボムボムさんへ
>そうですね、確かにそっちの定義なら
>けどそっちからの定義って、あんまり高校生には馴染みがないのでは…
自分もそう思って、e=lim[n→∞](n+1/n)
n
を敢えて定義に使ったのですが、それが混乱を招いてしまったようです
申し訳ありませんでした
そろそろこの問題もロックしたいのですが、いかがでしょうか?
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No.12
ボムボム
2010/02/03 20:51
>neutrinoさん
いえいえ、全然気にする必要ないですよ
僕の個人的意見ですから
ロックに関してはneutrinoさんのクイズですから、お任せします
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ベン
nn)/
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ボムボム
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