左辺にある数がA個とおきます。答えの右辺は2A+1です。
(1)Aが奇数のとき(A>16)
2つ目と3つ目、4つ目と5つ目、・・・A-1個目とA個目をそれぞれペアにして、引き算すれば全て-2となります。
1+3-5+(7-9)(11-13+15-17・・)-(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)という計算式について考えます。
11から始まる括弧は中にA-15個の数を持っていますからA-15/2個ペアが出来ているはずです。よって、
1+3-5+(7-9)(11-13+15-17・・)-(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)=-1+(-2)(A-15/2)(-2)+32=2A+1
ゆえに常に成立します。
(2)Aが偶数のとき(A>13)
同様に１個目と2個目、3個目と4個目、・・A-1個目とA個目をペアにして引き算すると全て-2です。
-(1-3)*5+7+(9-11)(13-15+17-19・・)-(-2)(-2)(-2)について考えると、
13-15+17-19・・の括弧の中にはA-12個の数があります。つまりA-12/2個ペアがあります。よって、
-(1-3)*5+7+(9-11)(13-15+17-19･･)-(-2)(-2)(-2)=17+(-2)(A-12/2)(-2)-(-8)=2A+1
ゆえに常に成立。
あとは2<=A<=15の範囲を全て調べれば終わり。
-1+3+5=7 -1*3+5+7=9 1+3+5-7+9=11 -1+3*(5-7)+9+11=13 1+3*5+7*(9-11)+13=15　1*3-5+(7-9)*(11-13)+15=17 1+3-5+7+9+(11-13)*(15-17)=19

−１×（３−５−７）＝９
１＋３＋５−７＋９＝１１
１−３＋５×７−９−１１＝１３
１×３×５−７＋９＋１１−１３＝１５

意外と簡単に出来たりしました。
1-3-5-7-9+11*(13-15)*(17-19)=21
1*3-5-7-9-11+13*(15-17)*(19-21)=23
-1-3-5+7-9-11-13+15*(17-19)*(21-23)=25
-(1+3-5)*(7-9)-11-13-15+17*(19-21)*(23-25)=27
1-3+5-7-9+11-13-15-17+19*(21-23)*(25-27)=29
1*3-5+(7-11-13+15)-15-17-19+21*(23-25)*(27-29)=31

左辺にA個の数があるとする。(A>=9)<br>左辺に使われている数字は、大きい順に、2A-1,2A-3････3,1となります。ここで、<br>････-(2A-15)-(2A-13)-(2A-11)+(2A-9)*{(2A-7)-(2A-5)}*{(2A-3)-(2A-1)}と後半だけ決めてしまいます。そこだけ計算すると、<br>-(6A-39)+4(2A-9)=2A+3<br>つまり、式の合計は2A+1なので、････の部分は必ず-2となります。<br>････のところに入る数をX個とおくと、<br>X=A-8<br>A=9のときX=1<br>････部分は1のみなので-2にはなりません。<br>A=10のときX=2<br>1-3=-2<br>A=11のときX=3<br>1*3-5=-2<br>A=12のときX=4<br>-1-3-5+7=-2<br>A=13のときX=5<br>-(1+3-5)*(7-9)=-2<br>A=14以降は<br>後ろの4つを(5-7-9+11)みたいに消してやれば、必ずX=2,3,4,5のいずれかに当てはまるので全て成立。<br>よって、A>=10 つまり答えが21以上のものは全て成立する組み合わせが一通り以上存在する。<br>まあ21以下ならチェックも楽だしこの証明のほうが楽ですかね。

1+3×5-7=9
(1+3)÷(-5+7)+9=11
1+(-3+5)÷(-7+9)+11=13
(-1+3)×(-5+7)÷(-9+11)+13=15
------------------------------
-1-3+5+(-7+9)÷(-11+13)+15=17
(1+3)×(-5+7)÷(-9+11)÷(-13+15)+17=19
1+(-3+5)×(-7+9)÷(-11+13)÷(-15+17)+19=21

このあたりで、一般化を試みます。
左辺の項数をn (n≧5)とします。
基本は1個目〜(n-1)個目までの項で2を作り、最後の項を足すことです。
[1]n=4kのとき
4個目〜(n-1)個目までの項を隣接する2項ごとに差を作り、×が(k-2)個、÷が(k-1)個になるようにし、(-1-3+5)と最後の項を足します。
そうすれば、
-1-3+5+2^(k-1)÷2^(k-1)+2n-1=2n+1
が成り立ちます。
n=4×3の例
-1-3+5+(-7+9)×(-11+13)÷(-15+17)÷(-19+21)+23=25
[2]n=4k+1のとき
3個目〜(n-1)個目までの項を隣接する2項ごとに差を作り、それと(1+3)を×が(k-1)個、÷がk個になるようにし、最後の項を足します。
そうすれば、
4×2^(k-1)÷2^k+2n-1=2n+1
が成り立ちます。
n=4×3+1の例
(1+3)×(-5+7)×(-9+11)÷(-13+15)÷(-17+19)÷(-21+23)+25=27
[3]n=4k+2のとき
2個目〜(n-1)個目までの項を隣接する2項ごとに差を作り、×が(k-1)個、÷がk個になるようにし、1と最後の項を足します。
そうすれば、
1+2^k÷2^k+2n-1=2n+1
が成り立ちます。
n=4×3+2の例
1+(-3+5)×(-7+9)×(-11+13)÷(-15+17)÷(-19+21)÷(-23+25)+27=29
[4]n=4k+3のとき
1個目〜(n-1)個目までの項を隣接する2項ごとに差を作り、×がk個、÷がk個になるようにし、最後の項を足します。
そうすれば、
2^(k+1)÷2^k+2n-1=2n+1
が成り立ちます。
n=4×2+3の例
(-1+3)×(-5+7)×(-9+11)÷(-13+15)÷(-17+19)+21=23

左辺のm番目の数は、2m-1で表される。左辺にn個の数があるものとする。
-1+3+(5-7-9+11)*13*…+2n-1=2n+1
よって、左辺に7個以上の数が存在すれば上記の方法より成立するパターンが存在する。
6以下のとき。　-1+3+5=7,-1*3+5+7=9,1+3+5-7+9=11,1-3*5+7+9+11=13
Q.E.D
昔の証明見るとひどいですねぇ。もっと簡単に証明できるのに。

ヒミツ

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