とても面白かったです。
三時間ぐらい没頭しましたかね。 なんか気分がよくなりました。
証明省きまくりできっと伝わらないと思います。スイマセン。
自分が12/26に投稿したのを暇でしたら見てやってください。
追記:投合→等号　頭疲れてたもので・・

なんとなくです

最近計算する体力がなくなってきているので1のみ

分かる人には分かるけどそんな人はほとんどいないと思われる怪しい解
・X(7)の存在から自明

あんな省きまくりの証明で伝わったとは。
すごいですね。

慣れない書き方・・・どうだろう・・・

長くなりそうなので分割します
まず(1)から(3)です。

(4)と(5)です

??? なんてことは無いですよね・・・

2.√((-a+b+c)(aa+ab+ac-2bb+4bc-2cc)/4a)

なんでこんな面倒な値になるのかと思ったら問題間違えてた。
正しい解答は囁きに。

1月5日の15時以降から、これまでの問題も含めて解答公開、ロックをしていきたいと思います。
今まで放置してきて申し訳ありませんでした。

(1)
P,Q,Rはそれぞれ△ABCの内接円とBC,CA,ABの接点なので、
AQ=AR,BR=BP,CP=CQ
∴AR/RB*BP/PC*CQ/QA=AR/BP*BP/CQ*CQ/AR=1
APとBQは交わっているので、チェバの定理の逆より、AP,BQ,CRは一点で交わる。
(2)
AQ+CQ=b,BR+AR=c,CP+BP=a
である。また、(1)より、
AQ+CP=b �@,BR+AQ=c �A,CP+BR=a �B
�@+�A-�Bより、
2AQ=-a+b+c
∴AQ=(-a+b+c)/2
他も同様にして、
BR=(a-b+c)/2
CP=(a+b-c)/2
(3)
△PQRは必ず鋭角三角形となる。
[証明]
AQ=AR,BR=BP,CP=CQ であるから、
∠AQR=∠ARQ,∠BRP=∠BPR,∠CPQ=∠CQP
接弦定理より、
∠RPQ=∠AQR,∠PQR=∠BRP,∠QRP=∠CPQ
また、∠RAQ+∠AQR+∠ARQ=180°より、
2∠AQR=180°-∠RAQ<180°
∴∠RPQ=∠AQR<90°
同様にして、
∠PQR<90°,∠QRP<90°
よって、△PQRは鋭角三角形となる。//
ところが、p²+q²=13<r²=16 となり、∠QRP>90°となるので矛盾する。
よってa は解なしとなる。
(4)
(2)より、
AQ=AR=(-2+3+4)/2=5/2
BR=BP=(2-3+4)/2=3/2
また、
cosA=(-4+9+16)/(2*3*4)=7/8
cosB=(4-9+16)/(2*4*2)=11/16
cosC=(4+9-16)/(2*2*3)=-1/4
余弦定理より、
QR²=25/4+25/4-2*5/2*5/2*cosA=25/16
∴QR=5/4
同様にして、
RP=(3√10)/8
また、sin∠QRP=sin∠CPQ=sin(90-C/2)=cos(C/2)
cos²(C/2)=(1+cosC)/2=3/8
sin∠QRP>0 なので、
sin∠QRP=cos(C/2)=(√6)/4
∴△PQR=1/2*QR*RP*sin∠QRP=(15√15)/128

(5)
(4)と同様にして、
AQ=AR=(-a+b+c)/2
BR=BP=(a-b+c)/2
また、
cosA=(-a²+b²+c²)/(2bc)
cosB=(a²-b²+c²)/(2ca)
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
余弦定理より、
QR²=((-a+b+c)/2)²+((-a+b+c)/2)²-2*(-a+b+c)/2*(-a+b+c)/2*cosA
=1/2*(-a+b+c)²*(1-(-a²+b²+c²)/(2bc))
=(-a+b+c)²(a-b+c)(a+b-c)/(4bc)
∴QR=(-a+b+c)/2*√((a-b+c)(a+b-c)/(bc))
同様にして、
RP=(a-b+c)/2*√((a+b-c)(-a+b+c)/(ca))
また、sin∠QRP=cos(C/2)
cos²(C/2)=(1+cosC)/2
=(1+(a²+b²-c²)/(2ab))/2
=(a+b+c)(a+b-c)/(4ab)
sin∠QRP>0 なので、
sin∠QRP=cos(C/2)
=1/2*√((a+b+c)(a+b-c)/(4ab))
∴△PQR=1/2*QR*RP*sin∠QRP
=1/2*(-a+b+c)/2*√((a-b+c)(a+b-c)/(bc))*(a-b+c)/2*√((a+b-c)(-a+b+c)/(ca))*1/2*√((a+b+c)(a+b-c)/(4ab))
=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)√((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))/(16abc)
また、ヘロンの公式を変形して、
△ABC=1/4*√((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))
∴△ABC/△PQR
=1/4*√((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))*16abc/((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)√((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)))
=4abc/((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))
ここで、-a+b+c=X,a-b+c=Y,a+b-c=Z とおくと、
a=(Y+Z)/2,b=(Z+X)/2,c=(X+Y)/2 であるから、
△ABC/△PQR=(X+Y)(Y+Z)(Z+X)/(2XYZ)
=1/2*(X+Y)/X*(Y+Z)/Y*(Z+X)/Z
=1/2*(Y/X+1)(Z/Y+1)(X/Z+1)
a,b,c は三角形の辺の長さであるから、
X>0,Y>0,Z>0
よって、相加・相乗平均の関係より、
Y/X+1≧2√(Y/X) (等号成立はX=Yのとき)
Z/Y+1≧2√(Z/Y) (等号成立はY=Zのとき)
X/Z+1≧2√(X/Z) (等号成立はZ=Xのとき)
辺々掛けると、
(Y/X+1)(Z/Y+1)(X/Z+1)≧2√(Y/X)*2√(Z/Y)*2√(X/Z)=8 (等号成立はX=Y=Zのとき)
∴△ABC/△PQR=1/2*(Y/X+1)(Z/Y+1)(X/Z+1)≧4
よって、求める最小値は4
等号成立は、X=Y=Z より-a+b+c=a-b+c=a+b-c,即ちa=b=c のときである。
故に、このとき△ABCは正三角形である。