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切り捨て御免! その２

難易度：★★ 　

nn)/ 2009/12/12 01:54

任意の実数 x, y について，

　　[x] + [y] + [x + y] ≦ [2x] + [2y]

であることを証明してください．ただし，[x] はガウス記号で x を越えない最大の整数を表します．

反響の無さにもめげず「切り捨て御免!」第２弾です．
いろいろな証明法が考えられますし，中学生向きかも．
検索したところ，既出ではないように思います．
~~(すみませんが，しばらく nn)/ に代わって Belle がコメントを担当します)~~ *** 戻ってきました ***

解答例を No.7 に置きました．

ヒント	【[2x] = [x] + [x + 0.5]】
ヒント	【[x + 0.5] + [y + 0.5] ≧ [x + y]】

	【いろいろな証明法が考えられる．たとえば，　　[2x] = [x] + [x + 0.5],　[x + 0.5] + [y + 0.5] ≧ [x + y] より，　　[2x] + [2y] = [x] + [x + 0.5] + [y] + [y + 0.5] ≧ [x] + [y] + [x + y].】

ヒントが2つあるよ

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

ヒミツ

うな丼 2009/12/12 10:13

うーん

nn)/ 場合分けするのもひとつの方法ですね．でも (1) のときの左辺が違いますぅ．それに，場合分けもそれでいいでしょうか．もう少し考えてくださいね．

▲ △ ▽ ▼ No.2

Belle 2009/12/12 14:11

みなさん，初めまして．nn)/ の妹分の Belle です (横からの「弟分」という声は無視です (~。~)

)．
しばらく兄者が来られないので，短い間ですが，代わりにコメントさせてくださいね．
↑ では nn)/ となっていますが，書いているのは私です (どうやったら変えられるのか... (;o;)

)．
どうぞ，よろしくお願いいたします．

▲ △ ▽ ▼ No.3

ヒミツ

たぬきおやぢ 2009/12/12 22:09

面白い問題ですね。

普段使わない脳の部分を使った気がします。
うまく証明になっているか不安です。

nn)/ ごめんなさい．
nn)/ に聞いていました答え方の中にありませんので，判定までに少し時間をくださいね．
お待たせしました． (^_-)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(Belle)
(1) には等号を入れて，(2), (3) からは等号をとれば，正解と思います．

▲ △ ▽ ▼ No.4

ヒミツ

aiu 2009/12/13 03:58

で、どうでしょう?

nn)/ 方針はこれでいいと思います． (^_^)

　　　　　　　　　　　　　　　(Belle)
でも， ①⇔[2x]＋[2y]＞2a＋2b は ⇔ ではなく，⇒ ですね．
それに，証明としては，この部分の説明がもう少しほしいなぁ，と思います．

▲ △ ▽ ▼ No.5

nn)/ 2009/12/16 12:40

戻って参りました．Belle 君お嬢様，ありがとうございました

あまり投稿者もいらっしゃらないようですので，日曜（２０日）夜に解答例を示そうと思います．
投稿予定の方は，「ちょっと待った」だけでも結構ですから，日曜の夕方までにお願いします．

▲ △ ▽ ▼ No.6

例えば3.2の場合整数部分を3,小数部分を0.2とする。

xの整数部分をXとする。yの整数部分をYとする。
[x] = X
[y] = Y
[x+y] = X+YもしくはX+Y+1
[2x] = 2Xもしくは2X+1
[2y] = 2Yもしくは2Y+1
ほとんどの場合において証明する不等式は成り立つ。成り立たないパターンは次のパターンのみ。
[x+y] = X+Y+1 [2x] = 2X [2y] = 2Y
この3つの式を同時に満たすことはない。
(右の二つの等式はx,y両方の小数部分が0.5未満だといっている。それでは左の等式を満たさない)
よって不等式が成り立たない事はありえない。

こみのち 2009/12/18 20:05

ちょっと口語的かな。

nn)/ 正しい考え方です．
場合分けをもう少し明確に書いていただければ，さらに良かったのですが．

▲ △ ▽ ▼ No.7

nn)/ 2009/12/21 21:30

解答例の発表が１日遅れてすみません．
いろいろな解答の仕方がありますので，そのうち３つだけをここに示します．

(1) スマートな解答

[2x] = [x] + [x + 1/2] ≧ 2[x]，[2y] + 1 > 2y であるから，

　　[2x] + [2y] = [2x + [2y]] = [x + [2y]/2] + [x + [2y]/2 + 1/2]
　　　　 ≧ [x + [y]] + [x + y] = [x] + [y] + [x + y]

(2) 小数部だけ考えた解答

x = [x] + a, y = [y] + b とおくと，0 ≦ a < 1, 0 ≦ b < 1 であり，
　　[x] + [y] + [x + y] = [x] + [y] + [[x] + a + [y] + b] = 2([x] + [y]) + [a + b],
　　[2x] + [2y] = [2[x] + 2a] + [2[y] + 2b] = 2([x] + [y]) + [2a] + [2b]
であるから，
　　[a + b] ≦ [2a] + [2b]　　--- (*)
を証明すればよい．

これらの値は，下の図に示すようであり，常に (*) が成り立つ．

　　　　 [a + b]　　　　　　　 [2a] + [2b]
　１＋ーーー＋ーーー＋　　１＋ーーー＋ーーー＋
　　｜＼　　　　　　｜　　　｜　　　｜　　　｜
　　｜　＼　　１　　｜　　　｜　１　｜　２　｜
　　｜　　＼　　　　｜　　　｜　　　｜　　　｜　
　ｂ＋　　　＼　　　＋　　ｂ＋ーーー＋ーーー＋
　　｜　　　　＼　　｜　　　｜　　　｜　　　｜　
　　｜　　０　　＼　｜　　　｜　０　｜　１　｜
　　｜　　　　　　＼｜　　　｜　　　｜　　　｜
　０＋ーーー＋ーーー＋　　０＋ーーー＋ーーー＋
　　０　　　ａ　　　１　　　０　　　ａ　　　１

もちろん，この図に対応した場合分けをし，それぞれで不等式の成立を示してもよい．

(3) 答えの欄に書いたものを再掲

x, y の小数部が「1/2 以上か，未満か」という場合分けで，

　　[2x] = [x] + [x + 1/2],　[x + 1/2] + [y + 1/2] ≧ [x + y]

が示せるので，

　　[2x] + [2y] = [x] + [x + 1/2] + [y] + [y + 1/2] ≧ [x] + [y] + [x + y].

▲ △ ▽ ▼ No.8

たぬきおやぢ 2009/12/21 23:39

ぽかーん。

何に気づいたら(1)の解法の第二項のような道筋を見つけられるのだろうか。凡人は(2)の図から責めるしかないなぁ。