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通る四角の個数は?
難易度：★ 　
?aiu 2009/12/05 22:59
縦25cm、横32cmの長方形がある。
ここに、一辺1cmの正方形を隙間なく詰める。（重ならないように）
このとき、この長方形の対角線（左下→右上）が通過する正方形の個数を求めよ。
Answer【56個

正方形の縦の並びをそれぞれ第1列、第2列、…、第32列とする。
対角線は1列につき、縦に25/32（＝1－(7/32)）cmずつ増える。
したがって、第n列（1≦n≦32）まで進んだときの縦の長さはn・（1－(7/32)）＝n－(7/32)n　cmである。
また、この値はn＝32で初めて整数となり、正方形の隅と交わるので、周期性はない。

ここで、1列につき進む縦の距離が25/32cm＜1cmより、すべての列において対角線が3つ以上の正方形を通過することはない。
また、対角線が右の辺を通過する正方形において、左下隅で対角線と交わる場合、右上隅と、右の辺と対角線の交点の距離は7/32cmとなる。

よって、右上隅と交点の距離が7/32cmより大きい場合、対角線が下の辺から正方形と交わることになり、結果、真下の正方形も通過するので1列につき2個の正方形を通過することになる。

右上隅と交点の距離が7/32cmより小さい場合、右の辺と交わるという条件から真上の正方形を通過することはなく、また対角線が左の辺から正方形と交わることになり、結果、左の正方形を通過することになるので、1列につき1個の正方形を通過することになる。

右上隅と交点の距離が7/32cmの場合、対角線が左下隅から正方形と交わることになり、結果、左下の正方形を通過することになるので、1列につき1個の正方形を通過することになる。

右上隅と交点の距離は(7/32)n－a　cm（a：(7/32)n＜1にするような、0以上の整数）なので、以上のことをまとめると、
(7/32)n－a≦7/32のとき、第n列で1個の正方形を通過する。
(7/32)n－a＞7/32のとき、第n列で2個の正方形を通過する。
となる。よって、前者の場合を考えると、
1個の正方形を通過する列の条件は、0≦(7/32)n－a≦7/32（・・・（★））
⇔a≦(7/32)n（・・・①）　、　32a≦7n≦32a＋7（・・・②）
①より、n＝32でa≦7となるので、0≦a≦7となる。
②より式の形から、1つのaにつき、これを満たす7nはただ1つのみ必ず存在する。（n≦32より、a＝7でも7nは1通り）

よって、①②から不等式（★）をみたすnの個数は8つと分かるので、1個の正方形を通過する列の個数は8列であり、2個の正方形を通過する列の個数は32－8＝24列である。
しかがって、通過する正方形の個数は8＋24×2＝56個】
■
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    ヒント知らないよ

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