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 自然数に関する問題3問
難易度：★★★
 kazooo
2009/11/29 15:32
(1)Ａ君は１８４０円を持ってお買い物にいきました。
売っている商品の値段は Ａ１０５円 Ｂ１４０円 Ｃ１９８円 Ｄ２５２円の４種類です。 １８４０円を全て使い切る買い方の全パターンと、その証明をお願いします。 ただし、買わないものがあっても良いとします。 (2)ある５つの重りはそれぞれＡｇＢｇＣｇＤｇＥｇ(Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅは自然数)である。 ５つのうち２つの重さの和を全てもとめると下のようになった。 16 20 22 24 27 28 29 33 35 (g) ５つの重りの重さとそれ以外に解がないことを証明してください。 (3)AC=S,AB=T ,BC=√r ∠C=90°の三角形ABCがあります。(S,T,rは自然数) 1. r=204のときのS,Tの解を全て求めてください。 2. S,Tの解が１つ以上存在するrの条件を考えてください。 初投稿です。よろしくお願いします。
 ヒントが3つあるよ |
回答募集は終了しました。
kazooo
ええと、rは角度では無く、辺の長さです。
 また、∠Ｃ＝９０°より、∠Ａも∠Ｂも鋭角です。 初めてのコメントありがとうございます  問題文に致命的なミスがあったので、訂正しました。 スイマセン 
kazooo
まさに模範解答です！
 たぬきおやぢさんおめでとうございます。 よければ(2),(3)もどうぞ。
kazooo
おみごと
 正解です。自分が用意した二つの解の後者のほうをやってくれたみたいですね。 証明方法がすごくきれいなので別解に入れさせてもらいます。 (3)も気が向いたらどうぞ。 
kazooo
エクセルをつかわなくてもだせますが、いいんじゃないでしょうか？
1 2 ともに正解です。 全部解いてくれたみたいで。初投稿でったのですごく嬉しいです。 (3)の2は難し目につくったけど・・・ 星３つのほうがよかったですかねぇ？ お疲れ様でした。 rの条件が95％ぐらいあってるんですが、あと少したらないです。
kazooo
正解です。
ボムボムさん解いてくれてありがとうございます。非常に丁寧に証明してありますね。
kazooo
ありゃりゃ
 問題文がひどいことになってたので修正しました。読み返すとこれは本当にひどいですね。 もりさん、たぬきおやじさん、ボムボムさんすいませんでした。 (2)は正解です。 自分が考えたほうの前者で解いてくれたようで。
kazooo
おみごとです。
 rの条件も完全にあっています。 全問覇者が早くも二人・・・。 簡単すぎたかなぁ。 ボムボムさんおめでとう。 
kazooo
考え方はそれでＯＫです。
解答を楽しみにしています。
kazooo
(2)は正解です。おみごと。
(3)の1は惜しいです。 かなりいいところまで書いてあるのですが・・。(3)の2もかなり惜しいです。rの条件は90%ぐらいあっているんですが・・。 よければ(1)もどうぞ。
kazooo
(1)正解です
。おめでとうどざいます。(2),(3)もよろしければどうぞ。  楽しみに待っていたのでうれしいです。
解答は、コメントを使って、あげていきたいと思います。
まずは、(1)の考え方から・・ 解1 1840=2*2*2*2*5*23 105=3*5*7 140=2*2*5*7 198=2*3*3*11 252=2*2*3*3*7 このときのある因数に注目。 解2 1840は10の倍数なので1の位が0になるような組み合わせを考える。 いまのところ解1のみですね。 解2は邪道ですかねぇ。  [ちょっとした発想の転換でしょうか？]というタイトルで似た問題を出してた事がありましてね。解き方がピンときました。2007年7月。
実は...
↓2年以上も前の話ですから
kazooo
よっしーさんすみません。
 まだ始めたばっかで・・ 他にも被りがありましたら、初心者だと思ってスルーしてやってください。 一応本とかネットからは持ってこず、自分で考えました。
(2) (3)を
(2) 重りが5個あったら本来重さの和は10パターンできるはずです。 しかし今回は9パターンしかありません。 そこから重りの重さの特徴を考えましょう。 (3)の1 ∠C=90°より、三平方の定理から、T^2=S^2+204 これを変形して・・。
(1)の解1
Aは奇数でB,C,Dは偶数。かつ1840も偶数なのでAは偶数個ということになります。 また、A,B,Dは7で割り切れて、Cは7で割ると2余り、1840は6余ります。 つまりCの個数の候補は3,10,17・・・ということになります。 ここで、Cを10こ買うと1840をオーバーしてしまうので、Cは3個となります。 C3個分を1840から引くと1246です。 A,B,D,1246は7の倍数ですので、簡単にするために7で割って、 A 15,B 20,D 36,値段 178としましょう。 Aを2個で一組として、全体をまた2で割って、 A' 15,B 10,D 18,値段 89 A',B,D,値段をそれぞれ5で割った余りは、0 0 3 4 Cと同じ考え方でDの個数の候補は3,8,11・・・となりますが、 D8個分は89を超えますので、D=3となります。 D3個分を89から引くと35です。 よってA'=1,B=2となります。 2A'=AですのでA=2となります。 解答発表が著しく遅れたのはスイマセン。 期末テストという修羅場だったもので。
(1)の解2を
下一桁が0となるのは、2A,B,5C,5D,C+Dのとき 便宜上f210 g140 h990 i1260 j450 値段1840とする。 このとき6g=iよりiは買う必要はない。 あとは解1と同じ感じで。 (2)重りのうちAとBが同じ重さだとすると、出来る重さ10パターンのうち、 A+C=B+C,A+D=B+D,A+E=B+Eで3パターンが被るので最高で7パターンとなる。 よって同じ重さの重りはなく、ある一組だけが被っていると考えられる。 解1 被ってるおもさをXgとおき、A+B=C+D=Xと仮定する。 九つの重さの和+Xは考えられる重りの組すべての和なので、 (16+20+22+24+27+28+29+33+35)+X=4(A+B+C+D+E)となる。 右辺は常に4の倍数なので、左辺も4の倍数。これを満たすXは22のみ。 よって、A+B+C+D+E=64 (A+B)+(C+D)=44 ゆえにE=20 また、(A+C)+(B+D)や(A+D)+(B+C)も44のはずである。 このような組は、20+24,16+28 のみである。 よって残った27,29,33,35はEと何かの組である。 ゆえにA=7,B=9,C=13,D=15,E=20である。ただし、A～Eは互いに入れ替え可能である。
解2
軽い順にA,B,C,D,Eとおく。 条件からA+B=16①,D+E=35②,A+C=20③,C+E=33④ A<B,D<Eから、9<=B,D<=17 ③、④よりE-A=13⑤ ①、⑤よりE+B=29⑥ ②、⑥よりD-B=6 よって9<=B<=11 B=9のとき(7,9,13,15,20) ok B=10のとき(6,10,14,16,19) 25が矛盾 B=11のとき(5,11,15,17,18) 23が矛盾 これも全問解答発表したら、ロックします。 誰も見てないと思いますが・・・・
(3) 三平方の定理から、S^2+r=T^2 よってT^2-S^2=r,(T+S)(T-S)=r
T+SとT-Sは異なる奇数同士か偶数同士になる。 1.204を因数分解して、102×2，34×6の2つが条件を満たします。 S+T=102,S-T=2を代入してS=52,T=50 S+T=34,S-T=6を代入して、S=20,T=14 2.S+TとS-Tが異なる奇数になるための条件は、rが奇数であり、かつ異なる2つ以上の約数を持つとき。よって1より大きい奇数であること。 S+TとS-Tが異なる偶数になるための条件は、rが4の倍数であり、かつ4でないときである。(4のときは2×2で同じ数になるから。) よってrの条件は、3以上の奇数か8以上の4の倍数である。 今年中にロックします。 |
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