むずいよー

やれやれ，ずいぶん時間がかかりました．
正味２時間以上は費やしましたので，ここに出すのには難しすぎると思います，
問題自体がヒントになっていますから，答は簡単に出たのですが，証明に苦労しました.
特に (4) は，説明を詳細に書いたら相当長くなりますので，概要だけにしています．
しかし，それでも結構長いです．何かうまい方法があるのでしょうか．

↑ 「ここに出すのには難しすぎると思います」
　　自分を基準にしていますね．今読むと恥ずかしい限りです．
　　眠くて惚けていたとお考えください．すみませんでした．

なるべく面倒な計算は無しの方向で

(1)
C_nの中心をO_n,O_nからO_n-1P_n-1,O_n-2P_n-2,O_n-1からO_n-2P_n-2に下ろした垂線の足をそれぞれH_n,H_n-1,H_n-2 とする。

三平方の定理より、
O_nH_n²+O_n-1H_n²=O_nO_n-1²

P_nP_n-1²+(r_n-1-r_n)²=(r_n-1+r_n)²

∴P_nP_n-1=2√(r_nr_n-1)
O_nH_n-1²+O_n-2H_n-1²=O_nO_n-2²

P_nP_n-2²+(r_n-2-r_n)²=(r_n-2+r_n)²

∴P_nP_n-2=2√(r_nr_n-2)
O_n-1H_n-2²+O_n-2H_n-2²=O_n-1O_n-2²

P_n-1P_n-2²+(r_n-2-r_n-1)²=(r_n-2+r_n-1)²

∴P_n-1P_n-2=2√(r_n-1r_n-2)
P_n-1P_n-2=P_nP_n-1+P_nP_n-2 なので、
2√(r_n-1r_n-2)=2√(r_nr_n-1)+2√(r_nr_n-2)
両辺を2√(r_nr_n-1r_n-2)で割って、
1/√r_n=1/√r_n-1+1/√r_n-2
1/√r_n=F_n とおくと、F_n=F_n-1+F_n-2
F₁=F₂=1 なので、以下帰納的に任意の自然数n に対してF_n は自然数となる。

(2)
(1)で求めた漸化式より、F₁₀ の値を求めると、
F₁₀=1/√r₁₀=55
∴r₁₀=1/3025

(3)
1/r_n+1-1/√(r_nr_n+2)=F_n+1²-F_nF_n+2 として、これが(-1)ⁿ と等しいことを示す。

n=1 のとき、F₂²-F₁F₃=1²-1*2=(-1)¹ であるから成り立つ。

n=k のとき成り立つと仮定して、n=k+1 のときを考えると、
F_k+2²-F_k+1F_k+3

=F_k+2(F_k+1+F_k)-F_k+1(F_k+2+F_k+1)

=-(F_k+1²-F_kF_k+2)

=(-1)^k+1

故にn=k+1 のときも成り立つ。
よって、F_n+1²-F_nF_n+2=(-1)ⁿ は全ての自然数n において成り立つ。

(4)
nが偶数のとき、P₁P_n>P₁P_n+1
nが奇数のとき、P₁P_n<P₁P_n+1
であるから、
x_n=P₁P₂-P₂P₃+…+(-1)ⁿ⁺¹P_nP_n+1

(1)より、P_nP_n+1=2√(r_nr_n+1)=2/(F_nF_n+1)

よって、(3)より、
(-1)ⁿ⁺¹P_nP_n+1=2(F_nF_n+2-F_n+1²)/(F_nF_n+1)

=2(F_n+2/F_n+1-F_n+1/F_n)

∴x_n=P₁P₂-P₂P₃+…+(-1)ⁿ⁺¹P_nP_n+1

=2(F₃/F₂-F₂/F₁+F₄/F₃-F₃/F₂+…+F_n+2/F_n+1-F_n+1/F_n)
=-2F₂/F₁+2F_n+2/F_n+1
=2F_n+2/F_n+1-2

ここで、x²-x-1=0 の二つの解をα,β (α>β) とすると、
F_n=((1-β)α^n-1-(1-α)β^n-1)/(α-β)

α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2 なので、
F_n=(αⁿ-βⁿ)/√5

∴F_n+2/F_n+1=(αⁿ⁺²-βⁿ⁺²)/(αⁿ⁺¹-βⁿ⁺¹)

分子・分母をαⁿ⁺¹ で割って、
F_n+2/F_n+1=α(1-(β/α)ⁿ⁺²)/(1-(β/α)ⁿ⁺¹)

|β/α|<1 であるから、
lim[n→∞]x_n=lim[n→∞]2F_n+2/F_n+1-2
=2α-2
=√5-1

気付いた方も多いと思いますが、F_n はフィボナッチ数列になっています。