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２重ガラスの反射（３重ガラスも）

難易度：★★★ 　

nn)/ 2009/09/25 16:14

たまには出題しないといけませんね．ご存知の方は「あぁアレか」でしょうが，案外知られていないように思いますので，「有名問題」として出します．検索したところ，既出ではないと思います．

ガラスが２枚重なっています．ここに光を当てると，そのまま透過する部分もあれば，ガラスの裏面で反射される部分もあります．表面での反射を無視して，n 回の裏面反射で２枚重ねガラスを通過 (n が偶数なら元の進行方向へ透過，奇数なら鏡のように反射) する場合の数を f(n) とします．

たとえば，反射を１回もせず，単に通り抜ける場合の数は f(0) = 1 通りです．また，１回の反射については，上のガラス裏面での反射 (以下では『上』で表す) か，下のガラス裏面での反射 (以下では『下』で表す) か，の２通りあるから，f(1) = 2 です．同様に，２回の反射で通過する場合の数は，
　　上上，下下，下上， (上下はない)
の３通りあるから，f(2) = 3 です．

(1)　f(3) はいくつでしょう．
(2)　f(8) はいくつでしょう．

　　　＼　　　＼　入射光　　　　　　　　　　反射の例 (上上と下上) 　　ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー　〃〃〃＼／＼〃〃＼〃〃〃／＼〃〃〃〃〃　←上のガラス　　ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー　　〃〃〃〃〃〃＼〃〃＼／〃〃〃＼〃〃〃〃 ←下のガラス　　ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー　　　　　　　　　＼　　　　　　　＼　透過光

解答と詳しい解説を >>12 に載せました.

発展課題

ガラスを３重にしたらどうなるでしょう (>>13).　
解答と解説を載せました (>>15)

ヒント	【f(n) が満たす漸化式は？】
ヒント	【フ。○○。○数列じゃないか！】

	【(1) f(3) = 5. (2) f(8) = 55．】

ヒントが2つあるよ

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

I 2009/09/25 16:35

私は馬鹿～

nn)/ 難しい数学はいりませんので，(1) だけでも挑戦して下さい．
(2) は，値を求める考え方だけでも結構です．

▲ △ ▽ ▼ No.2

ヒミツ

NANO 2009/09/25 17:07

なんとな～くの解答です (~。~)

nn)/ (1) f(3) の３番目は不可能です．また，いくつか抜けています．
(2) 勘ではなかなか当たらないと思います．

▲ △ ▽ ▼ No.3

ヒミツ

Fair 2009/09/25 17:36

やり方が微妙になってしまいました (;_;)

nn)/ (1) f(3) 正解です．
(2) f(8) は違います．f(4) は合っています．

▲ △ ▽ ▼ No.4

１．上上上、上上下、下上上、下上下、下下下の５通り

２．
nが偶数の時は光が下方向へ、奇数の時は光が上方向へ向かう。
nを偶数だとする。
n-1のときに上面で反射していた場合、nでは光は上面で反射するしかない。
n-1のときに下面で反射していた場合、nでは光は下面で反射する場合と上面で反射する場合の二通りに分かれる。
nが奇数の時も、上面とした面の向きが逆になるだけで、同じことが言える。

つまり、n+1が偶数の時には、nの時に上面で反射していたものに対しては上面で反射する１通り、nの時に下面で反射していたものに対しては下と上の２通りの反射の仕方がある。
n+1が奇数の場合も上下反転するだけで同様。
つまり、上下の硝子についてnからn+1になるとき、場合の数が交互に「据え置き」と「２倍（同じ側のまま＋反対側）」を繰り返す。
表にすると以下のようになる。

ｎ　上　下　f(n)
０　　　　　１
１　１　１　２
２　１　２　３（下は据え置き、上が上と下の２通りとなり、上１下２となっている）
３　３　２　５（上は据え置き、下が上と下の２通りとなり、上３下２となっている）
４　３　５　８
５　８　５　13
６　８　13　21
７　21　13　34
８　21　34　55

よってf(8)=55

参考：
上と下の関係を見れば分かるように、交互にどちらか一方の側にもう片側から光がやってくるため、交互に「前回の上＋下」の数になるのとそのままの数であるのを繰り返している。「前回の上＋下」というのはf(n-1)である。そのままの数の方も、前回時点では「そのまた前の上＋下」であったわけで、つまりはf(n-2)である。
要するにf(n)=f(n-1)＋f(n-2)となる。

風花 2009/09/25 20:59

これであってます？

nn)/ 素晴らしいです！
(1), (2) とも正解で，説明も正しく的確です.
なお，(2) 参考の最後の行は，もう少し簡単に導出できます．

▲ △ ▽ ▼ No.5

f(3)=5,f(8)=55
奇数回目に上のガラスで反射すると、次は必ず上のガラスで反射することになる。偶数回目に下のガラスで反射すると、次は必ず下のガラスで反射する。
よって奇数回目の反射が「上」だと次は「上」の１通り、「下」だと次は「上」または「下」の２通り。逆に偶数回目だと「上」の次は２通り、「下」の次は１通り。そして樹形図を書く・・・という感じでやってみたのですが、そうするとf(5)～f(8)が１３，２１，３４，５５となりました。

Fair 2009/09/26 01:04

あんまり自信ないです。

nn)/ f(8) まで，その通りです．
f(0)～f(8) の値の列を見て．何か気づきませんか？

▲ △ ▽ ▼ No.6

か、階差数列がすごいことに・・！
何回階差をとっても必ず「２，３，５，８、…」が出てくる！気づきませんでした…

Fair 2009/09/26 18:24

おぉー

これは感動です！（おおげさ？）
こういうのもあるんですね。

nn)/ ということは，どういう性質を持っているのでしょうか． (^_^)

▲ △ ▽ ▼ No.7

ヒミツ

あつ 2009/09/27 14:19

解答が論理的じゃなくてすいません

nn)/ (1) は下上下が抜けています．
ですから，(2) も少なすぎます．

▲ △ ▽ ▼ No.8

nn)/ 2009/09/29 15:38

９月末まで皆様からの解答を募集して，
１０月に入ったら答と解説を示したいと思います．
投稿予定の方は，９月中にお願いします．

▲ △ ▽ ▼ No.9

偶数回反射なら下へ、奇数回反射なら上へ通り抜ける。

n回目（n=0は反射したとは言えないが、便宜的に反射したと言うことにして）の反射の後、下へ通り抜けようとした光を考える。
さらにn+1回目の反射をした後を考えると、仮にn+2回目の反射をしない場合、上まで通り抜けて、これがn+1回反射に相当する。
このn+1回反射した上へ通り抜けようとする光は、必ず上のガラスにまで到達しなければならない。
この光が上のガラスで反射してしまうと下へ通り抜ける光になる。
すなわちn+1回反射で上へ通り抜けるときの場合の数と、n+2回反射において最後に上のガラスで反射した場合の数は等しい。

一方n+2回目の反射が下のガラスである場合。
下のガラスの上面で反射するので、必ず下のガラスの下面で反射してから光は進んで来る。
つまりn+1回目では下のガラスで反射しなければならない。
これはn回目で上下いずれかのガラスで反射したどんな光（あるいはn=0では一回も反射していない光）であっても、必ず下向きに進んでいるから下のガラスに到達できるので、n回反射の場合の数と同じだけの場合の数がある。

すなわちn+2回反射の光は上反射（＝n+1回反射の場合の数）と下反射（＝n回反射の場合の数）の和であるから、
f(n+2)=f(n+1)+f(n)（n≧2）
が成り立つ。
nが奇数では上下反転するだけなので、結局同じことが言える。

したがってf(n)はフィボナッチ数列F(n)と同じ三項間の関係を満たす。
F(n)を初項からいくつか書き出すと
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55...
F(n)とf(n)はF(n+2)=f(n)の関係になっているので、

(1)f(3)=F(5)=5
(2)f(8)=F(10)=55

ボムボム 2009/09/30 18:36

数式少ないですがこんな感じでいいでしょうか… (^^;)

nn)/ その通り，ほとんど数式いらずで答が出ますね．
ただ，出る方でなく，入る方に着目した方がもっと簡単です (これはヒントですね).

▲ △ ▽ ▼ No.10

答えだけで、、

f(3)=5,f(8)=55

反射のパターンを２重ガラスの端と中で２つにわけて数列をいじくってたらf(n)はフィボナッチ数列だとわかりました。

taka 2009/10/01 17:36

解答期限は過ぎてますが・・・

nn)/ その通りです．どうしてそうなるのでしょう．

回答者がお二人出たので，もう少し解答公開を待ちます．

▲ △ ▽ ▼ No.11

n回反射した状態からn+1回目がどう反射するか考える。そのため、n回目の反射を次の2つに場合分けする。 ①2重ガラスの端で反射した場合 ②2重ガラスの中で反射した場合 ①のパターンではn+1回目で、ガラスの中で反射する場合と、ガラスの端で反射する場合の2通りができて、②ではガラスの端で反射する場合の1通りとなる。さらに、①の場合ガラスの中で反射するとn+1回目ではそれは②のパターンになり、ガラスの端で反射すると再び①のパターンになる。②の場合ではn+1回目では必ず①のパターンになる。 ここで、①のパターンの場合の数をg(n)、②のパターンの場合の数をh(n)とおくと、上の事実から g(n+1)=g(n)+h(n), h(n+1)=g(n) がいえる。 また、この2式から g(n+2)=g(n+1)+g(n) とまとめることができ、この式よりg(n)はフィボナッチ数列となることがわかる。 結局f(n)は①②を合わせたものなので、 f(n)=g(n)+h(n)=g(n)+g(n-1)=g(n+1) となり、f(n)もフィボナッチ数列であることがわかった。 ゆえに、f(0)=1,f(1)=2より、f(3)=5,f(8)=55

taka 2009/10/01 22:21

理由はこんな感じです。

nn)/ 面白い着眼点に思いました．ありがとうございます．
ただ，もう少し簡単に説明できます．

▲ △ ▽ ▼ No.12

nn)/ 2009/10/02 17:34

　　　お待ちの方もいらっしゃるでしょうから，解答と説明を公開します．

入射光の反射の仕方

２回以上の反射で通過する場合，(問題の説明にあるように) 入射光は始めに「上上と反射する」か「下で反射する」かの２通りしかなく，「上下」で始まることはありません．

　　入射光　仮想的　　　　入射光　　　　n-1 回反　　　　＼　＼入射光① 　　　　＼　　　　射後通過　　　　　　　ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー　　〃〃〃＼／＼／〃〃〃〃〃〃〃〃＼〃〃〃／＼〃〃〃　←上のガラス　　　ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー　　　〃〃〃〃〃〃＼／〃〃〃〃〃〃〃〃＼／＼〃〃〃〃〃 ←下のガラス　　　ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー　　　　　　　　　n-2 回反　　　　／仮想的　　　　　　　　　射後通過　　　　　入射光②　　

上上と反射したとき

２回反射した直後の状態は，反射点に外から光が入った場合と同じです (仮想的入射光①)．計 n 回でガラスの外に出るとき，その点から n-2 回反射して出ることになり，場合の数は f(n-2) 通りです．

下で反射したとき

１回反射した直後の状態は，反射点に下方から光が入った場合と同じです (仮想的入射光②)．計 n 回でガラスの外に出るとき，上下を入れ替えて考えれば，その点から n-1 回反射して出ることになり，場合の数は f(n-1) 通りです．

漸化式と Fibonacci (フィボナッチ) 数列

以上より，n ≧ 2 のとき，f(n) = f(n-1) + f(n-2) が成立します．この漸化式と f(0) = 1, f(1) = 2 により，数列
　　　1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
が得られ，f(3) = 5, f(8) = 55 が答です．

この数列の前に 1 または 0, 1 を付加したものは，Fibonacci 数列と呼ばれます．その数列の要素は Fibonacci 数と呼ばれ，通常 F_n と書かれますが，この数とは
　　　F_n= f(n-2)
という関係にあります．Fibonacci 数列は，推理ものの小ネタとして出てくるだけでなく，このような物理現象や植物の葉のつき方 (葉序)・蜜蜂の系統樹などの生物現象にも見ることができます．また，黄金比と深い関係があるなど，幾何学的意味を含む面白い性質が多くあります．

▲ △ ▽ ▼ No.13

nn)/ 2009/10/05 19:45

発展課題です (オリジナルかも)

３重ガラスになったら，n 回反射する場合の数 g(n) は，どういう漸化式を満たすでしょう．

なお，以下は明らかでしょう．

　　g(0) = 1　（素通りのみ）　
　　g(1) = 3　（上，中，下）
　　g(2) = 6　（上上，中上，中中，下上，下中，下下）
　　g(3) = 14 （上上上，上上中，上上下，中上上，中上中，中上下，中中中，
　　　　　　　　中中下，下上上，下上中，下上下，下中中，下中下，下下下）

　　　＼入射光＼　　　＼　　反射の例 (上上，中中，下上) 　ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー　〃〃〃＼／＼〃〃＼〃〃〃＼〃〃〃〃〃〃／＼〃〃〃〃〃〃〃　←上　ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー　〃〃〃〃〃〃〃＼〃〃＼／＼〃＼〃〃〃／〃〃〃＼〃〃〃〃〃〃 ←中　ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー　〃〃〃〃〃〃〃〃＼〃〃〃〃＼〃＼／〃〃〃〃〃〃＼〃〃〃〃　←下　ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー　　　　　　　　　　＼　　　　＼　　　透過光　　　＼

▲ △ ▽ ▼ No.14

g(n+3)を考えると
最初の反射が上上となるもの、中となるもの、下となるもの、三パターンになる。
上上の後はg(n+1)と同等と見なせる。
下の後は上下ひっくり返して下から来た光と見れば、g(n+2)と同等と見なせる。
中の場合は、下から光が来てn+2回反射して抜けていく光のうち、最初に下下とならなかった反射を見ていることになるから、g(n+2)-g(n)と同等。
以上より
g(n+3)=g(n+1)+g(n+2)+{g(n+2)-g(n)}
=2g(n+2)+g(n+1)-g(n)
という漸化式を満たす。

ボムボム 2009/10/05 20:36

発展課題はたぶんこういう漸化式を満たすと思います (^^)

nn)/ 素晴らしい模範的な解答です．得られる数列
　　1, 3, 6, 14, 31, 70, 157, 353, 793, 1782, 4004, ...
は，公比２の等比数列より少しだけ大きくなり方が早いのが，よく漸化式に表れています．

なお，２重ガラスがそうであったように，ボムボムさんが示された以外にもいくつかの見方が存在します．その見方の違いに応じた，他の形の漸化式も考えられます．

▲ △ ▽ ▼ No.15

nn)/ 2009/10/09 12:28

＊＊＊　３重ガラスの解答と解説　＊＊＊

いろいろな考え方ができますが，n ≧3 のときについて，２つだけとりあげます．その後，両者の一致を確かめ，２重ガラスの結果や公比２の等比数列との関係を見ましょう．

(1) 上下の表面で反射したときのみ，仮想的入射光を考える

２重ガラスの場合と同じように，上下の表面で反射したとき，その反射点に外部から射し込む仮想的入射光を考えます．

すると，「上上」で始まる g(n-2) 通りの反射パターンと「中中…中」で終わって一度も表面反射をしない 1 通りの例外を除き，「中」が m 回続いて「上」(m が奇数) または「下」(m が０を含む偶数) のどれかで始まり，各 m ≦ n-1に対する場合の数は g(n-m-1) 通りです．よって，

　　g(n) = g(n-2) + 1 + g(n-1) + g(n-2) + ... + g(0)
　　　　 = g(n-2) + 1 + Σ[i=0,...,n-1] g(i)

という漸化式を得ます．最後の項が g(n) 以前に出た場合の数の総数である点が面白いと思います．

(2) 中での反射にも，仮想的入射光を考える

入射光の反射パターンは，「上上」「中」「下」のどれかで始まります．２重ガラスのときと同じく，「上上」は g(n-2) 通り，「下」は g(n-1) 通りあります．

「中」については，反射点に下方からの仮想的入射光を考えます．しかし，それだけでは，すぐに「中」に入らない分の場合の数 g(n-3) を余計に数えてしまいますから，それを差し引くと，場合の数は g(n-1)-g(n-3) です．よって，

　　g(n) = g(n-2) + g(n-1) + g(n-1) - g(n-3)
　　　　 = 2 g(n-1) + g(n-2) - g(n-3)

が得られます．ボムボムさんの解答 (>>14) も参考にして下さい．

この方法を２重ガラスの場合に適用すると，ちょうど上のガラスがないようなものですから，漸化式

　　f(n) = 2 f(n-1) - f(n-3)

が得られることもお分かりになると思います．

(1), (2) が同等であることの略証 (数学的帰納法できちんと書けます)

(2) より，g(n-1) = 2 g(n-2) + g(n-3) - g(n-4) なので，これを右辺の 2 g(n-1) の１つ分に代入します．そして，そのような操作を繰り返すと，

　　g(n) = g(n-1) + g(n-2) - g(n-3) + (2 g(n-2) + g(n-3) - g(n-4))
　　　　 = g(n-2) + g(n-1) + (2 g(n-2) - g(n-4))
　　　　 = g(n-2) + g(n-1) + g(n-2) + (2 g(n-3) - g(n-5))
　　　　 = ...
　　　　 = g(n-2) + g(n-1) + g(n-2) + ... + g(3) + (2 g(2) - g(0))
　　　　 = g(n-2) + g(n-1) + g(n-2) + ... + g(3) + g(2) + g(1) + g(0) + 1

となります．ただし，最後の行には g(2) = 6, g(1) = 3, g(0) = 1 を用いています．

もちろん，２重ガラスの場合も同様に，

　　f(n) = f(n-1) - f(n-3) + (2 f(n-2) - f(n-4))
　　　　 = f(n-1) + f(n-2) + (f(n-2) - f(n-3) - f(n-4))
　　　　 = f(n-1) + f(n-2) + (f(n-3) - f(n-4) - f(n-5))
　　　　 = ...
　　　　 = f(n-1) + f(n-2) + (f(2) - f(1) - f(0))
　　　　 = f(n-1) + f(n-2)

と，同等であることが示せます．ただし，最後の行には f(2) = 3, f(1) = 2, f(0) = 1 を用いています．

公比２の等比数列との関係

初項１公比２の等比数列の第 n+1 項を h(n) と書けば，h(n) は２つの漸化式

　　h(n) = 2 h(n-1)　　（前項の２倍）
　　　　 = 1 + Σ[i=0,...,n-1] h(i)　　（第１項から第 n 項までの和に１を加える）

を満たします (２行目は実際に確かめてみて下さい)．

３つの数列を，２つの形の漸化式とともに並べてみると，これらの関係がよく見えます．

n = 0, 1, 2, ... に対する値
　　f(n): 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
　　h(n): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...
　　g(n): 1, 3, 6, 14, 31, 70, 157, 353, 793, 1782, 4004, ...

n ≧ 2 に対する和の形の漸化式
　　f(n) = f(n-1) + f(n-2)
　　h(n) = h(n-1) + h(n-2) + ... + h(0) + 1
　　g(n) = g(n-1) + g(n-2) + ... + g(0) + 1 + g(n-2)

n ≧ 3 に対する前項の２倍を含む漸化式
　　f(n) = 2 f(n-1) - f(n-3)
　　h(n) = 2 h(n-1)
　　g(n) = 2 g(n-1) + g(n-2) - g(n-3)

これらのどれからも，大きくなるスピードが f(n) < h(n) < g(n) の順に小さいことが分かります．

実際，g(n) の最初の項が，他と同じ g(0) = 1, g(1) = 2 でも，すぐに大きくなります．

　　1, 2, 5, 11, 25, 56, 126, 283, 636, 1429, 3211, ...

▲ △ ▽ ▼ No.16

nn)/ 2009/10/18 20:41