構成的証明をしましたが，結構大変でしたので，
十分でできる ★★ 問題ではないように思いました．
それとも，背理法などであっさり証明できるのでしょうか？

Aの分子が1の場合に、証明できないきがするのですが？
右辺は必ず、足し算の形になるのですか？
(1/n=1/nはOK？　それとも1/n=1/a+1/bでないとダメ？)

とりあえずはこれで
でもやっぱり、分解に使う分数は全て異なるものじゃないとダメですよね?

そうですね．もっと簡単にできました．
作られる分母の大きさ順が反対になるのが面白いですね．

んー、これって中高生でも理解出来ると言えるのかな…
説明が下手なだけかもしれんけど。本解はもっと簡単な方法でしょうか？
ちなみに上で言ってるAの分子が1の場合についてですが、
1/n＝1/(n+1)＋1/n(n+1)と必ず2つの単位分数に分解することが出来ると思います。

ずーっと放置されていた問題ですが、ようやく解答を公開することになりました。いまさら公開しても、覚えている方はおそらくいないし、見る方もいらっしゃらないでしょう。とはいうものの、全てはここまで放置していた自分の責任ですので、公開します。これを機に猛省し、今後はきちんとした問題管理を行っていきたいと思います（もっとも、そうあるのが当然のことなのですが）。

以下解答。

いいたいことはいくつかあるのですが、とりあえず簡単に解答を。
(解答)
　　条件よりA=n/m(nとmは互いに素な整数,n<m)とあらわすことが出来る。
　　次の操作を繰り返すことにより条件を満たす方法でAを分解できることを示す。
　　（操作）
　　　n=1のとき、X=1/Aとし、操作を終了する。
　　　Aを超えない最大の単位分数の分母をX(すなわち1/X < A < 1/(X-1))として、
　　　A - 1/X=(nX-m)/mX
　　　をあらたにAとする。つまり、
　　　nX-m→n,mX→m
　　　である。ただし約分できる場合は約分する。
　　（操作終わり）
　　示さなければならないのは
　　(1)操作が有限回で終了する
　　(2)各操作内で現れる単位分数1/Xはすべて異なる。
　　の二つである。
　　(1)
　　　X=[m/n]+1より、
　　　X-1 < m/n
　　　∴nX-m<n
　　　これは、Aの分子が小さくなっていくことを表す。
　　　よって操作は高々n回で終わる。
　　(2)
　　　X≧2より、
　　　A- 1/X < 1/X
　　　よって分母は大きくなっていく。
　　以上より、Aは各操作で作られる1/Xの総和で表すことが出来る。
　　よって題意は満たされた。
(解答終)


例えば、9/20を分解するとき
9/20 = 1/3 + 7/60
7/60 = 1/9 + 1/180
よって
9/20 = 1/3 + 1/9 + 1/180
ところが、これが最も簡単な分解というわけではなく、
9/20 = 1/4 + 1/5
のように、さらに簡単な分解が存在することも多いです。

さて、この問題の原点は、たしか「エジプトでは全ての分数を単位分数の和で表す」ということを聞いたのが元だったと記憶しています。「ほんとかよ・・・」と思いながら国語の授業中にこの問題を考えていました
改めて調べてみると、どうやら上の解法は、中世、フィボナッチが考えた「強欲算法」というものと同じみたいです。フィボナッチも、強欲算法はときに複雑な単位分数展開を与える、ということを指摘しており、この方法ははじめのとっかかりにのみ使うべきで、後は恒等式などを用いて分解することを奨めています。
現代でも、この問題に関するたくさんの未解決問題がまだまだ残っています。例えば「もっとも簡単な分解を与えるアルゴリズム」といったものもあります（簡単のとらえ方には「項数が最小」「分母の総和が最小」などいくつかあるようです）。