前回同じ問題を出しましたが、壮絶なる勘違いをして出題してしまったので、もう一度修正して出題いたします。前回回答してくださったnn)/さんにはご迷惑をおかけします。

数列{a_n}を次の漸化式(A)によって帰納的に定義します。
ただし、初項a₁は−π≦a₁≦πであり、角度を表すのに弧度法を用いることとします。

　　　　　a_n＋1＝πcosa_n ………(A)


(1)a₁＝πのとき、lim[n→∞]a_nを求めてください。
(2)a₁＝π/3のとき、lim[n→∞]a_nを求めてください。
(3)n≧2でa_n＝k(kは定数、│k│≠π)となるような初項a₁の値は4個あることを示してください。

(3)での値を大きい方からα₁、α₂、α₃、α₄とします。

(4)α₄＜α₃＜0＜α₂＜α₁を示してください。
(5)α₂＜2を示してください。
(6)α₄＜−1を示してください。
(7)a₁＝α₂のとき、lim[n→∞]a_nを求めてください。必要であれば、α₁、α₂を用いて構いません。
(8)a₁＝α₁のとき、lim[n→∞]a_nを求めてください。必要であれば、α₁、α₂を用いて構いません。
(9)数列{a_n}が収束しない初項a₁があれば求めてください。必要であれば、α₁、α₄を用いて構いません。

(9)での値があり、さらに最大最小があれば、最小のものをβ₁、最大のものをβ₂とします。

(10)数列{a_n}が単調増加となる初項a₁の条件があれば求めてください。必要であれば、α₁、α₄、β₁、β₂を用いて構いません。
(11)数列{a_n}が単調減少となる初項a₁の条件があれば求めてください。必要であれば、α₁、α₄、β₁、β₂を用いて構いません。
(12)数列{a_n}の収束する値として考えられるものをすべて挙げてください。必要であれば、α₁、α₄、β₁、β₂を用いて構いません。

注意
「…を示してください」という問題は、厳密なる証明を求めるものではありません。納得できるような簡単な説明で結構です。