数IIの範囲で解けているでしょうか．

うっかりしてました．

(1)
x³-3abx+a³+b³=P(x) とおく。
P(x)=(x+a+b)(x²+a²+b²-ax-bx-ab)=0 より、
x+a+b=0 またはx²+a²+b²-ax-bx-ab=0
x²+a²+b²-ax-bx-ab=0 のとき
x=1/2*(a+b±√3i(a-b))
よってP(x)=0 の解は、
x=-a-b,1/2*(a+b±√3i(a-b))
[1]P(x)=0 が三重解をもつとき
-a-b=1/2*(a+b+√3i(a-b))=1/2*(a+b-√3i(a-b)) であるから、
a+b=-a+b=0
∴a=b=0
このとき解は、x=0
[2]P(x)=0 が二重解と、それとは異なる一つの解をもつとき
-a-b=1/2*(a+b+√3i(a-b)) または-a-b=1/2*(a+b-√3i(a-b)) とすると、[1]より三重解となるので不適。
よって-a-b≠1/2*(a+b+√3i(a-b))=1/2*(a+b-√3i(a-b))
∴a=b≠0
このとき解は、x=-2a,a
[3]P(x)=0 が異なる三つの解をもつとき
条件を満たすのは[1]でも[2]でもないときだから、
a≠b
このとき解は、x=-a-b,1/2*(a+b±√3i(a-b))
以上より、P(x)=0 は、
a=b=0 のとき、実数の三重解をもつ。
a=b≠0 のとき、実数の二重解とそれとは異なる一つの実数解をもつ。
a≠b=0 のとき、一つの実数解と異なる二つの虚数解をもつ。
(2)
³√((-18+10√3)/9)=-a,³√((-18-10√3)/9)=-b とおくと、(1)より、
-a-b はx についての方程式x³-3abx+a³+b³=0 の解である。
ab=2/3,a³+b³=4 であるから、
x³-3abx+a³+b³=Q(x) とおくと、
Q(x)=x³-2x+4=0
Q(-2)=0 なので、x=-2 はこの方程式の解であり、a≠b なので、(1)より残りの解は虚数である。
よって、-a-b は実数なので、-a-b=-2
故に、³√((-18+10√3)/9)+³√((-18-10√3)/9) は、有理数-2 に等しい。
(3)
R(x)=x³-3abx+a³+b³=x³-6x+6 として係数を比較すると、
-3ab=-6 �@,a³+b³=6 �A
�@より、a≠0,b≠0 であるから、
b=2/a �B
これを�Aに代入すると、
a³+8/a³=6
両辺にa³ を掛けて整理すると、
a⁶-6a³+8=0
(a³-2)(a³-4)=0
よって、a³-2=0 またはa³-4=0
a は実数なので、a=³√2,³√4
これを�Bに代入すると、
(a,b)=(³√2,³√4),(³√4,³√2)
(1)より、R(x)=0 の解はx=-a-b,1/2*(a+b±√3i(a-b)) であるから、
x=-³√2-³√4,1/2*(³√2+³√4±√3i(³√2-³√4))

本問では二次の項がない三次方程式がテーマでしたが、もっと一般的な三次方程式x³+ax²+bx+c=0 (最初に三次の項の係数で割っておきます)においても、x=y-a/3 とおくと、二次の項がないyについての三次方程式が得られるので、あとは(3)と同様な手法で解くことができます。