答え：「aは2以上の自然数」

以下考察です。
（囁き欄では下付き文字とか使えないので、対数の底をaで固定して表記は省略します）

aが整数でないとき、[a]=kとするとk＜a＜k+1である。
aが整数でないのでk≦aではなく、左側の不等号において等号は成立しない。
（a＞1よりkは自然数である）
x≧1の任意の実数xについて問題文の条件が成立するので、x=a（＞1）についても条件を満たす必要がある。
このとき
1≦[x]=[a]=k＜a=x
の関係を満たしている。
ここで各辺について底a（a＞1）の対数をとると
0≦log[x]＜1=log(x)
したがって[log(x)]=1であり、[log[x]]=0であるから
[log[x]]≠[log(x)]
となって成立しない。

ゆえに「aが整数」、すなわちa＞1ゆえ「aが2以上の自然数」であることが必要条件である。

逆にaが2以上の自然数のとき。
任意の実数xについて、[log(x)]=mとすると
m≦log(x)＜m+1
と表せる。
（mは非負整数）
底a＞1ゆえ真数についても大小関係はそのままで
a^m≦x＜a^(m+1)（�@）
である。
ガウス記号の性質から、x≦yあるいはx＜yのとき[x]≦[y]であるので、[a^m]≦[x]（�A）。
さらに[x]≦x（�B）である。
ここでaが整数ゆえ、a^mも整数になるから、[a^m]=a^mであって、�Aからa^m≦[x]が成り立つ（�C）。
したがって�@、�B、�Cより
a^m≦[x]≦x＜a^(m+1)
となるから、各辺底a（＞1）の対数をとると大小関係はそのままで
m≦log[x]≦log(x)＜m+1
になる。
したがって[log[x]]=[log(x)]=mとなって問題で与えられた条件を満たす。

すなわち求める必要十分条件は「aが2以上の自然数」である。