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 連続した数への分解
難易度：★★★
 nn)/
2009/08/07 00:32
ある本から少しだけ形を変えて出題します．既出であればご指摘下さい．
検索して，似た問題をひとつ見つけましたが，趣旨が違いました． 1+2 = 3, 2+3 = 5, 1+2+3 = 6, 3+4 = 7, 2+3+4 = 4+5 = 9, 1+2+3+4 = 10, 1+2+3+4+5 = 4+5+6 = 7+8 = 15 1+2+3+4+5+6 = 6+7+8 = 10+11 = 21 のように，正整数 n を連続したいくつかの正整数の和で表すことを考え，その n だ けの場合を含めて，連続和での表し方の数を D(n) と書くことにします．たとえば， D(1) = D(2) = D(4) = D(8) = 1, D(3) = D(5) = D(6) = D(7) = D(10) = 2, D(9) = 3, D(15) = D(21) = 4 です．では， D(450) および D(2009) はいくつでしょうか．
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連続する数字で書ける場合を考える。
１．連続する奇数個の数字で書ける場合 数字が奇数であるので、中央の数が存在する。 （中央の数字×個数）と表せる。 つまりA×Bと表したとき、少なくとも一方が奇数であれば、その奇数を個数として連続した数字で書ける。 ２．連続する偶数個の数字で書ける場合 （中央部分にある2数の和×個数の1/2）と書ける。中央部分にある2数の和は必ず奇数であるので、A×Bと表したとき、少なくとも一方が奇数であれば、その奇数(2n+1)をn+(n+1)という中央部にした連続する数字で書ける。 よって、対象の数字をA×B（Aは奇数）と表記すると、そのそれぞれについて個数が奇数の場合と偶数の場合の2通りの記述が可能である。ただし、連続する「正の」整数と限られているため、中央の数字と個数の関係で0以下の数が必要になる場合はカウントできない。 これに、対象の数のみで表す場合の1通りを足し合わせると求められる。 
とりあえず考え方のみ。
実際の計算はまだやってません。 暇ができたら手をつけます（ぉ 
nn)/
ほとんど正解で，どういうものを探せばいいかはその通りです．
ただし，連続な正整数の和に対応するかどうか，改めて検証する 必要がありますね．その検証部分をなくすには，１，２の考え方 を１歩進めればできそうですが，それよりもっとシンプルに（実 はヒント１）考えられた方がいいかも知れません． D(2009)を考える。
2009＝7×7×41 よって 1×2009 7×287 41×49 49×41 287×7 2009×1 の6通りについて、それぞれ2通りずつの12パターンを考える。 1×2009 1を中心に2009個の数 → × (0+1)を中心に4018個の数 → × 7×287 7を中心に287個の数 → × (3+4)を中心に574個の数 → × 41×49 41を中心に49個の数 → ○ (20+21)を中心に98個の数 → × 49×41 49を中心に41個の数 → ○ (24+25)を中心に82個の数 → × 287×7 287を中心に7個の数 → ○ (143+144)を中心に14個の数 → ○ 2009×1 2009を中心に1個の数 → ○ (1004+1005)を中心に2個の数 → ○ ○がついた6通りの記述が可能。 よって D(2009)=6
とりあえず2009の方を。
前の囁きに書いた最後の+1は、場合分けの中で出てくるので不要でしたね(^^; 
nn)/
正解です．でも，検証が煩わしいですね．
それぞれ２通りずつのパターンを考えて，結局どうなりましたでしょうか． シンプルに考えると，うまく対応がつくんです． D(450)を考える。
450＝2×3×3×5×5 よって 1×450 3×150 5×90 9×50 15×30 25×18 45×10 225×2 の8通りについて、それぞれ2つずつ、16パターンを検証する。 1×450 450を中心に1個の数 → ○ (0+1)を中心に900個の数 → × 3×150 150を中心に3個の数 → ○ (1+2)を中心に300個の数 → × 5×90 90を中心に5個の数 → ○ (2+3)を中心に180個の数 → × 9×50 50を中心に9の数 → ○ (4+5)を中心に100個の数 → × 15×30 30を中心に15個の数 → ○ (12+13)を中心に60個の数 → × 25×18 18を中心に25個の数 → ○ (12+13)を中心に36個の数 → × 45×10 10を中心に45個の数 → × (22+23)を中心に20個の数 → ○ 225×2 2を中心に225個の数 → × (112+113)を中心に4個の数 → ○ ○のついた8通りの書き方が可能。 よって D(450)＝8 ちなみに、2009版の回答でA（奇数）×Bで「Bを中心にA個」とすべきところを、AとBを逆に書いていました。 が、素因数が全て奇数ですので結果は変わらないはずです。 大目に見てください(^^;
450の場合はこう？
nn)/
ひとつ抜けています．
何通りあるか，どうしたら簡単に分かるでしょうか？ 75×6が抜けてましたね。
6を中心に75個の数 → × (37+38)を中心に12個の数 → ○ 一個増えるので合計9通り。 D(450)＝9 素因数増えると大変だなー、とか思っていたらホントにミスりました(^^; もっとシンプルに、というヒントですが、 A（奇数）×Bで、Bを中心にA個の場合、 2B＞Aであれば0以下が発生しない。 Aを2n+1としてn+(n+1)を中心に2B個の場合、 n≧B、つまりA＞2Bであれば0以下が発生しない。 という基準で、かけ算の数字比較だけでカウントするとか、そういうことでしょうか？
ホントだ。漏れてた。
修正しました（汗
nn)/
正解です．
次々に解答を頂いたので，少々焦りましたが，課題クリアです． おめでとうございます．そして，ありがとうございました． そういう基準の導入は，シンプルにというより，風花さんの考え方を１歩進め る方向（つまり複雑にする方向）と思います．はじめから，１，２と場合分け をしない方法の方が，結果的にスッキリします．
nn)/
D(450) は合っていますが，D(2009) は違います．
２行目・３行目の理由がハッキリ書かれていませんので，判断が難しいですが， 考え方のどこかに問題がありそうです． 分割数は奇数で割って割り切れるか、偶数で割って0.5の端数になる必要があるため。
約数のうち2の指数が0のものと、2の指数が最大の物の２倍が分割数として有効となる。 正の整数で分割出来るのは(分割数)＜√(元の数×2) …①を満たすもの 450=2x3^2x5^2の場合 括弧内は①を満たさないもの 2の指数が0のもの 1 3 5 9 15 25 (45 75 225) 2の指数が最大(1)の物の2倍 4 12 20 (36 60 100 180 300 900) 2009=7^2x41の場合 括弧内は①を満たさないもの 2の指数が0のもの 1 7 41 49 (287 2009) 2の指数が最大(0)の物の2倍 2 14 (82 98 574 4018) D(450)=9 D(2009)=6
考え直したら却ってすっきりしました
nn)/
D(450)，D(2009) の値は合っています．その意味では正解です．
ただし，１～３行目で良いという理由はやはり示されていません． また，この方法で D(12) = 2 (3+4+5 = 12) になりますか？ 答え、D(450)=9、D(2009)=6。
（以下考察） ある自然数Xを題意に従って分解して、連続する自然数の最初と最後の数をa,bとする。 （ただしa≦b、a,bは自然数) aからbまで連続する（a=bの場合は連続するとは言えないが、便宜的に連続していることにする）自然数の和は (b+a)(b-a+1)/2 と表される。 これがXに等しい。 式変形すると(b+a)(b-a+1)=2Xである。 b+a=m,b-a+1=nとする。 （このときmn=2Xである） (b+a)と(b-a)は偶奇が一致するので、(b+a)と(b-a+1)は偶奇のペアになっている。 すなわち(m,n)は偶奇のペアである。 またb=(m+n-1)/2、a=(m-n+1)/2であり、(m,n)が偶奇のペアであれば(m±n)は奇数になるので、 (m+n-1)も(m-n+1)も偶数となり、題意を満たすようなa,bが存在する。 また m=b+a=b+(a-1)+1 n=b-(a-1) であり、(a-1)≧0だから、m＞nの大小関係を満たす。 以上から、題意をみたすような組(a,b)を探すには、積が2Xになる偶奇のペア(m,n)（ただしm＞nでmn=2X）に分解すればよく、(a,b)の組の数はそのような(m,n)の組の数と等しい。 X=2^(a_1)*3^(a_2)*… と素因数分解すると、 2X=2^(1+a_1)×3^(a_2)×5^(a_3)×… である（a_i(i=1,2,3,…)は非負整数）。 これを偶奇のペア(m,n)に分解するので、mとnのどちらかは2^(1+a_1)の因数を持つ。 これを除して残った Y=2X/{2^(1+a_1)}=3^(a_2)×5^(a_3)×… において、積をm'とn'に分解したペア(m',n')は、m'とn'どちらも奇数である（m',n'の大小は特に関係ない）。 またm'×2^(1+a_1)、n'について、大きい方をm、小さい方をnとすれば、mとnは偶奇が一致せず、mn=2Xとなる。 したがって与えられた自然数Xについて、上のように2の因数を全て除いたYを二つの自然数の積に分解し、その組の個数を求めればよい。 異なる二数に分解し、入れ替えたものは別のペアと見なせるので、結局求める組の数は自然数Yの約数の個数と一致する。 なお約数の個数は素因数分解したときの各因数の冪部分を用いて (a_2+1)×(a_3+1)×…となる（証明略）。 X=450のとき2X=900=(2^2)×(3^2)×(5^2)である。 Y=(3^2)×(5^2)の約数の個数は(2+1)×(2+1)=9個あるので、D(450)=9。 X=2009のとき2X=4018=2×(7^2)×41である。 Y=(7^2)×41の約数の個数は(2+1)×(1+1)=6個あるので、D(2009)=6。
こんな感じで考えました
 
nn)/
正解です．また，D(n) の求め方も完璧です．
１～２行目の理由：
nが連続したm個の整数の和で表せる時、m個の数字の平均aを使うと n=amとなる。 ・mが奇数の時、aは整数になる。 → nはmで割り切れる…② ・mが偶数の時、aは整数+0.5になる。 → nはm/2で割り切れ…③ mで割り切れない…④ 割り切れる数＝約数 約数は素因数分解後の各素因数のべき乗の組み合わせで全通り挙げられる。 nの約数のうち奇数(素因数2のべき乗が0のとき)をmとすると②を満たす。 nの約数のうち偶数(素因数2のべき乗が1以上のとき)をmとすると偶数なので②を満たさない。 nの約数のうち素因数2のべき乗が最大のものを2倍したものをmとすると③④を満たす。 nの約数のうち素因数2のべき乗が最大でないものを2倍したものをmとすると③を満たすが、mも約数になるため④を満たさない。 ３行目の理由： 平均aのm個の整数の最小値bは、 mが偶数の時 b=a+0.5-m/2 mが奇数の時 b=a-(m-1)/2=a+0.5-m/2 どちらも同じb=a+0.5-m/2で表せる 正の整数で分割されるためにはbが1以上であればいいので a+0.5-m/2＞0.5 ※bは整数のため境界値が0.5でも問題ない a-m/2＞0 n=amより、a=n/mだから n/m-m/2>0 n/m>m/2 2n>m^2 (m>0) m<√(2n) (m>0) 12=2^2x3の場合 括弧内は①を満たさないもの 2の指数が0のもの 1 3 2の指数が最大(2)の物の2倍 (8 24) D(12)=2 （1が1分割12を表し、3が3分割3+4+5を表す） 蛇足：①を満たさない 8は-2 -1 0 1 2 3 4 5、24は-11～+12 対称性から①を満たさないのは候補の丁度半分になりそう(未確認)
理由とD(12)を示してみました。
nn)/
風花さんと基本的に同じ考え方＋連続正整数の和になる条件の明示ですね．
もちろん，これで十分です．ただ，ボムボムさんの解答（私の用意した解説も 同じです）をご覧になれば，条件チェックをする必要がない素直な導出法のあ ることがお分かりになると思います． すいません．D(12) をお聞きしたのは，私の勘違いからです． NO.4で書いた「シンプル」をもう少し突っ込んで書くと、
A（奇数）×Bで、Bを中心にA個の場合、 2B＞Aであれば0以下が発生しない。 Aを2n+1としてn+(n+1)を中心に2B個の場合、 n≧B、つまりA＞2Bであれば0以下が発生しない。 No.4ではこのように表現しましたが、つまり ある数をA（奇数）×Bとあらわせるとき、 2B＞AならばA個の連続した正の整数で、 2B＜Aならば2B個の連続した正の整数で表せる ということです。 よって、奇数の約数の個数が求める数になります。 場合分けしないというのはこういう意味でしょうか。
これでどうでしょう。
「シンプル」バージョンの数え方になっていますでしょうか。
nn)/
私がシンプルと言った方向とは違いますが，最初に２つに場合分けしたやり方
の中で最も簡潔な方法と思います．見事に後の手間をなくし，十分シンプルに なっています． REE さんの解答の改良版（「蛇足」で述べられた点の解決）という位置づけに なると思います． D(450)＝9,D(2009)=6<br><br>題意を変換すると<br>初項ａ，公差１，項数ｋの等差級数S(a,k)=nを満たす正整数ａ，ｋの組み合わせ数を求めれば良い。<br>S(a,k)=k(2a+k-1)/2=n<br>両辺に２を掛けると<br>k(2a+k-1)=2n･･･①<br>よって、項数ｋは2nの約数である必要がある。<br>また、ｋが偶数の場合はｋはｎの約数では無い。<br>（ｋがｎの約数の場合、ある自然数ｂを使ってn=bkと表せるので、①式は<br>k(2a+k-1)=2bk→2a+k-1=2b<br>kは偶数のため左辺は奇数で矛盾が生じる）<br><br>①式をａについて解き、ａ>0であることから<br>a=(2n-k(k-1))/2k>0<br>k^2-k-2n<0<br>nが大きい場合kは√(2n)より小さい。<br><br>N(450)の場合2n＝900なので、上記の条件を満たす項数ｋは,1,3,4,5,9,12,15,20,25の9個<br><br>N(2009)の場合2n=2×7×7×41なので<br>k=1,2,7,14,41,49の6個です。
2009って意外と特別な数なんですね
なるほど。 ①の左辺にa>1/2を入れると左辺>k^2となって簡単ですね。 初めの必要条件はすぐ分かったのですが、条件を満たさないものを除外するのに苦労しました。
nn)/
2009 はちょっと使いたくなる数ですよね．
D(450), D(2009) の値はその通りで正解です． これまでの解答とは異なる考え方（もちろん，根本的には同じなのですが）に 基づいていて，スレ主の特権を楽しまさせていただいています． ひとつだけ気になるのは「n が大きい場合」という条件付き判定です．a は整 数ですから a > 0 は a > 1/2 と同じです．すると「n が大きい場合」という 但し書きが不要なことが分かります． というより，その判定も実は不要であることが， ① をよく見ると分かるかも しれません． 与えられたpに等しくなるための、項数Ｎ、初項ａの等差(1)の和を考えると、
Ｎ(2a+Ｎ-1)=2*P 2*Pを素因数分解し、N,aに自然数解を与えるために、2*Pの任意の素因数の積をＮとして検討。正の整数解を与えるためにＮ*Ｎ<2pが条件。 上の式の右辺、左辺の遇奇性についてNが偶数の場合は、2*P/Nは奇数になり、Nが奇数の場合は2*P/Nは偶数とかを確認。 ｇ(450)=9,g(2009)=６
証明あまりなし。
nn)/
正解です．
一般的な求め方を示すための材料はほぼ揃っているようです， 初項がaで連続するn個の整数の和は
(2a+n-1)*n/2 … ① a,nは自然数 … ② ①が450になるa,nの組み合わせは (2a+n-1)*n/2=450 2a+n-1=900/n 2a+n-1が自然数なのでnは900の約数 0<aよりn-1<900/n よってnは30以下の自然数 1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,25,30で n=2,6,10,18,30はaが分数になるの不適 よってＤ（450）=9 同様に 2a+n-1=4018/n またnは62以下の自然数 n=1,2,7,14,41,49 よってＤ（2009）=6
簡潔にまとめました。
nn)/
D(450), D(2009) の値は合っていますし，この考え方で十分です．
ただ，全ての約数を考え，後から判定を行っていますので， その部分を改良する余地はあります．
連続した正整数で a+ … +b = (a+b)(b-a+1)/2 = n を満たす a, b があるとき，
a+b が偶数なら b-a+1 は奇数，逆に a+b が奇数なら b-a+1 は偶数であるから， 2n は正奇数 x と正偶数 y の積で書ける，つまり x y = 2n であり，以上の議論に は a = b = n のときを含んでいる．そして，a, b は，この x と y で a = (|x-y|+1)/2, b = (x+y-1)/2 と表され，組 (a,b) の総数と (x,y) の総数は等しい． すなわち，2n の奇数の約数全てが x になり得るので，その数を数えれば良い． それは，2n の素因数分解を 2n = 2m2 3m3 5m5 7m7… としたとき，2 以外の素因数を何個か掛け合わせてできる異なる数の個数に等しく， D(n) = (m3+1)×(m5+1)×(m7+1)×… である．なお，掛けてできる x と y = 2n/x から a, b が求められる． (1) n = 450 = 2 32 52 のとき，D(450) = (2+1)×(2+1) = 9． また，x = 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 から得られた a, b より， 6+ … +30 = 13+ … +32 = 23+ … +37 = 32+ … +43 = 46+ … +54 = 88+ … +92 = 111+112+113+114 = 149+150+151 = 450 と表すことができる． (2) n = 2009 = 72 41 のとき，D(2009) = (2+1)×(1+1) = 6． また，x = 1, 7, 41, 49, 287, 2009 から得られた a, b より， 17+ … +65 = 29+ … +69 = 137+ … +150 = 284+ … +290 = 1004+1005 = 2009 と表すことができる． |
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