どうでしょう。

どうでしょうか？

なるほど、サイコロに厚みがあるってこと考えないとだめってことですね。
丁寧に書きます。立方体ABCD-EFGHについて、対角線ＡＣを軸にします。以下囁き。
A-Gを軸にする方だったらすいません。

２の真ん中が分からない・・・

(2)は√3の方向を回転軸にとると考えたらいいのでしょうか？
正方形の対角線方向（長さ√2）かどうか迷ったのでどちらも考えてみました。
いかがでしょうか？

(2) は，10 年以上前 (?) に，東京工業大学の変人先生が，自分の後継者にふさわ
しい変人を入学させようとして出題した，悪名高い入試問題です．ちょっとした
知識があれば計算を大幅に減らせるのですが，始めからちゃんと計算するのは結
構大変です．

知っている問題なので，解答しようか迷っていたのですが，一応書きました．

どうですか・

またまた、とりあえず(1)だけ 　これもちょっと間違えそうになりましたがｗ

(2)は√3の方向に回転軸(r軸と呼ぶ)を取り、r軸から辺or面までの最大距離をf(r)として、πf(r)^2を0≦r≦√3まで積分…という方針かな…。