4 枚のカードを順に a1, a2, a3, a4 とする．<br>ここで a1 > a4 としても一般性を失わない．また，差 d を<br>　d = (1000 a1 + 100 a2 + 10 a3 + a4) - (a1 + 10 a2 + 100 a3 + 1000 a4) <br>　　= 999 (a1-a4) + 90 (a2-a3)<br>とする．<br><br>(1) a2 > a3 のとき，<br>　d = 1000 (a1-a4) + 100 (a2-a3-1) + 10 (10-a2+a3-1) + (10-a1+a4)<br>とかけ，各桁の和は<br>　(a1-a4) + (a2-a3-1) + (10-a2+a3-1) + (10-a1+a4) = 18.<br><br>(2) a2 < a3 のとき，<br>　d = 1000 (a1-a4-1) + 100 (10-a3+a2) + 10 (a3-a2-1) + (10-a1+a4)<br>とかけ，各桁の和は<br>　(a1-a4-1) + (10-a3+a2) + (a3-a2-1) + (10-a1+a4) = 18.

末尾の数字が偶数ならば話は早いので、奇数の場合を考えます。奇数の場合というのは、4桁の片方の末尾だけが奇数の場合です。さて、末尾が奇数の場合ですが、その場合の一番頭の位は、やはり奇数です。ということは、末尾と一番上の位の和は、偶数になります。これは、それらに挟まれた中の2数にも同じことが言えます。ということで、差として出てきた数字の合計は偶数です。更に、9の倍数でもありますから、故に、18の倍数となります。

大きいほうのの4桁の数を1000a+100b+10c+dとします。
すると、逆にした数は1000d+100c+10b+aです。
よって、繰り下がりを無視した場合、引き算した後の各位は、左から順に
a-d,b-c,c-b,d-aになります。
このまま足すと、各位の和は0です。
しかし、実際はa-d,b-c,c-b,d-aのうち、2つが必ず負の数になります。
これは、繰り下がりがちょうど2回起きることを示します。
繰り下がる場合、その位に10を足し、ひとつ上の位から1を引きます。
つまり、各位の和としては10-1＝9増えます。
よって、2回の繰り下がりにより、各位の和は、
繰り下がりを無視した場合よりも18増えることになり、答えは18となります。

以下蛇足ですが…
各位がすべて異なるという仮定は、
�@a-d,b-c,c-b,d-aのうち、2つが必ず負の数になる
�A繰り下がりを計算することによって
新たに繰り下がりが発生しない
というところで使っています。

この仮定をおかない場合は
1111-1111=0 → 0
1101-1011=90 → 9
2001-1002=999 → 27
のように、9の倍数にはなりますが、18とは限りません。
これは、繰り下がりの回数が定まらないためですね。

取り出した四つの数をabcdとする。
（abcdは相異なるとする）
順番通りに並べた
1000a+100b+10c+d
と、逆順の
1000d+100c+10b+a
について、大きい方から引き算するとして、a＞dとしてよい。
このときa,dは1から9の異なる二つの自然数であるので、
1≦a-d≦8
が成り立つ。
二数の差は
1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a
である。

(1)b＞cのとき。
1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a
=1000(a-d)+100(b-c-1)+10(10-(b-c)-1)+(10-(a-d))
b＞cで、b,cは1から9の異なる二つの自然数なので1≦b-c≦8
0≦b-c-1≦7
10-(b-c)-1=9-(b-c)で1≦9-(b-c)≦8
2≦10-(a-d)≦9
したがって、a-dは千の位、b-c-1は百の位、10-(b-c)-1は十の位、10-(a-d)は一の位になっている。
これらの和は
(a-d)+(b-c-1)+{10-(b-c)-1}+{10-(a-d)}=18

(2)b＜cのとき。
1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a
=1000(a-d-1)+100(10-(c-b))+10(c-b-1)+(10-(a-d))
0≦a-d-1≦7
b＜cで、b,cは1から9の異なる二つの自然数なので、1≦c-b≦8
2≦10-(c-b)≦9
0≦c-b-1≦7
2≦10-(a-d)≦9
であるので、a-d-1は千の位（ただしa-d-1=0となる場合は差は三桁で千の位は存在しないが、形式的に0であるとここでは考えることにする）、10-(c-b)は百の位、c-b-1は十の位、10-(a-d)は一の位になっている。
これらの和は
(a-d-1)+{10-(c-b)}+(c-b-1)+{10-(a-d)}=18

以上より、二数の差の各桁の数の和は必ず18になる。

4桁の数をabcdとすると、その逆の数はdcba（a≠b≠c≠dより、a>d）
この2つを引くと
　abcd
- dcba
――――
ここで、
�@b>cのとき
c-b<0なので、c-bのときはその前の位のb-cを1繰り下げることになる。
また、d-a<0なので、d-aのときはその前の位のc-bを1繰り下げることになる。
これをもとに各桁の和を計算すると、
（a-d）＋｛（b-c）-1｝＋｛10+（c-b）-1｝＋｛10+（d-a）｝＝18

�Ac>bのとき
b-c<0、d-a<0となる。
各桁の和を計算すると、
｛（a-d）-1｝＋｛10+（b-c）｝＋｛（c-b）-1｝＋｛10+（d-a）｝＝18

よって、�@�Aより、問題の和は18となる。

４桁の数字の大きいほうをａｂｃｄとする。
題意よりａ＞ｄなので、以下の場合を考える。

（１）ｂ＞ｃの場合
　　　ａｂｃｄ−ｄｃｂａの各桁は、（ａ−ｄ）、（ｂ−ｃ−１）、（ｃ−ｂ＋１０−１）、（ｄ−ａ＋１０）
　　　となり、各桁の和は、１８となる。
（２）ｂ＜ｃの場合
　　　ａｂｃｄ−ｄｃｂａの各桁は、（ａ−ｄ−１）、（ｂ−ｃ＋１０）、（ｃ−ｂ−１）、（ｄ−ａ＋１０）
　　　となり、各桁の和は、１８となる。

（１）、（２）より証明された。

京さんに年齢を聞いた時の回答。