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このクイズの参加者（6人）
算数・数学クイズ
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 ラッキー 7 がいっぱい
難易度：★★★
 nn)/
2009/06/24 01:57
ある本に載っていた問題を少しだけ易しくして出題します．(すみません．注釈を加えました)
7^77 (7の77乗) が奇数であることから， c = (7^77 - 1)/2 は整数 (65 桁) です． ここのところ，算数・数学問題がでないので，４月以前の未解決問題などをやっていました． 「期待値を求めてください」 http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=10032 「今までに無い・・・はず」 http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=9875 「証明せよ!! 」 http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=8632
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回答募集は終了しました。
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(1) c=(7^77 - 1)/2
= (7((7^38)^2 - 1) + 6)/2 = (7(7^38 + 1)(7^38 - 1) + 6)/2 = 7(7^38 + 1)(7^38 - 1)/2 + 3 7^38は奇数なのでそれを2M+1(Mは整数)と置くと = 7(2M+1 + 1)(2M+1 - 1)/2 + 3 = 14(M+1)M + 3 となり 奇数である。 
(1)だけ
nn)/
(1) 正解です．
思っていなかった方向からの解答で，お見事という他ありません  なお，４行目の式から (2) の答えも出ます． 連続した 3 つの整数 (7^38 + 1), 7^38, (7^38 - 1) があれば，その中の 1 つは必ず 3 の倍数です． 7^38 は 3 の倍数ではあり得ないので， (7^38 + 1) または (7^38 - 1) が 3 の倍数です． よって，c は 3 の倍数なので，素数ではありません． 
nn)/
(1), (2) とも正解です．
 用意した解答例とは違いますが，実質的な内容は同じです． ただし，違った見方をしないと，(おまけ) の答えはなかなか出てこないと思います． PDJ さんご自身がより見やすく書き直されたものが，少し後ろにあります． 
nn)/
7^77 についてではなく，(7^77 - 1)/2 についての問題です．
(2) 「おまけが出ている時点で素数ではない」は，おっしゃる通りですね． １．７^７７が４で割って１余る数字なら偶数。
７は４で割って３余る数字。 つまり、７＾２は３×７＝２１で４で割って１余る数字。 つまり、７＾３は１×７＝７で４で割って３余る数字。 こうしていくと、３→１→３→１→３→１と繰り返されていくので、 奇数乗は３余り、偶数乗は１余る。 ７７は奇数のため、(7^77 - 1)/2 は奇数。 (2)
やり直しです。
nn)/
(1) 正解です．
用意した解答例と同じ内容です． ７は６で割って１余る数字。
それに７を掛けても６で割って１余る数字。 さらに７を掛けても６で割って１余る数字。 つまり、(7^77 - 1)は６の倍数で、(7^77 - 1)/2は３の倍数
（２）はこう
nn)/
(2) その通りで，前レスと合せ技で一本です．
ぜひ（おまけ）も考えてください． 同じようにはいかないと思います (たぶん)
(1)
合同式、mod4で考えると 7≡-1 7^77≡(-1)^77≡-1 -1-1≡-2≡2 つまり7^77-1は4で割って2余るので4m+2と表せる。 したがってc=(7^77-1)/2=2m+1であるから奇数である。 (2) mod3で考える。 7≡1 7^77≡1 7^77-1≡0 したがって7^77-1は3の倍数で、2と3は互いに素だからc=(7^77-1)/2も3を因数に持つ。 また明らかにc≠3なのでcは素数ではない。 （なお、おまけ問題について少なくとも3が約数なのは(2)から分かる）
初めまして、nn)/さん
 お名前あちこちで拝見しております  そういえば最近数学系の問題は少ないですね  まずはおまけ以外で、おまけは後ほど考えます
nn)/
書き込むようになって間もないですが，よろしくお願いします．
(1), (2) 完璧です．ただし，用意した解答例は，中学生向けに書いています． 元来は (2) の答を (おまけ) として得ることになる問題です． しかし，高校生は気づけばできるでしょうが，中学生には難しいと考えて， 易しく (2) が答えられるような問題に変えました． 7=6+1なので7^77=(6+1)^77=6^77+77Ｃ1×6^76+……+77Ｃ75×6^2+77Ｃ76×6+1
Ｃは組み合わせ記号、77Ｃ1等は全て自然数になる) 7^77-1=6×(6^77+77Ｃ1×6^75+……+77Ｃ75×6+77Ｃ76) c=3×(6^76+77Ｃ1×6^75+……+77Ｃ75×6+77Ｃ76) 3はcの約数である。よってcは素数ではない。 また77Ｃ76=77なので c=3×(6^76+77Ｃ1×6^75+……+77Ｃ75×6)+3×77=3×6×(6^75+77Ｃ1×6^74+……+77Ｃ75)+3×77 3×6×(6^75+77Ｃ1×6^74+……+77Ｃ75)は偶数である。 3×77は奇数なので、cは奇数。
nn)/
(1), (2) 見やすくしていただき，ありがとうございます．
(1)7^77-1 = (4+3)^77 = 4^77 + 4^76*3^1 + ・・・ +4^1*3^76 + 3^77 - 1<br>ここで、3^77-1 = (4-1)^77 - 1 = 4^77 + 4^76*(-1)^1 + ・・・ + 4^1*(-1)76 + (-1)^77 - 1<br>(-1)^77 = -1 なので、3^77-1は4の倍数-2となり、4の倍数ではない(が、偶数)。<br>よって、7^77-1も4の倍数-2となり、4の倍数ではない（が、偶数）。<br>2cが4の倍数ではない（が、偶数な）ので、cは奇数となる。<br><br>(2) (1)の「ここで」の前の式を見ると、<br>7^77-1 = (4+3)^77-1 = 3の倍数 + 4^77 - 1<br>となる。<br>4^77-1 = (3+1)^77 - 1 = 3^77 + ・・・ 1^77 - 1 = 3の倍数 + 1 - 1 = 3の倍数<br>したがって、7^77-1=(4+3)^77-1も3の倍数となる。<br>また(1)より7^77-1 = 2cは偶数であり、上より3の倍数であるため、6の倍数である。<br>これに1/2をかけたcはやはり3の倍数となる。<br>したがって、素数ではない。<br><br>(3) (2)より、たとえば「3」。
解答がうまくまとめられなくて、かんなり面倒な文章になってしまいました
 お暇な時に読む程度で結構です 
nn)/
(1), (2) 正解です．
(おまけ) は，おまけですから，(2) の解答にあらわれた数以外でお願いします． 最初の REE さん以外，(1), (2) に対する基本的な考え方はみな同じですが， ひとつも同じ解答がないという，大変面白い状況になっています． c=(7^77-1)/2=(7-1)(7^76+7^75+･･･+7+1)/2
(7-1)/2=3=奇数 7^n は常に奇数なのでそれらを奇数（77）個たしても奇数。 (1)c=奇数*奇数 なので奇数。 (2)c=3*(7^76+･･･+1)である。明らかに3より大きく約数3を持つので素数ではない。 (おまけ)3,(7^6+7^5+7^4+7^3+7^2+7+1),(7^10+7^9+･･･+7+1) など
これも計算しているといわれたら困る
nn)/
(1), (2) もちろん正解です．
またもや別の形の答で，すぐに全部を見られるのはスレ主の特権ですね． (おまけ) も大正解で，最初の制覇者です． ちょっとだけ惜しいと思うのは，よりシンプルで，かつ，求め方が分かる形を示して欲しかったことです． c=(7-1)(7^76+7^75+……+7^2+7+1)/2=3×(7^76+7^75+……+7^2+7+1)
という方法から、約数をあと4つほど (7^6+7^5+7^4+7^3+7^2+7+1) (7^70+7^63+……+7^14+7^7+1) (7^10+7^9+7^8+7^7+7^6+7^5+7^4+7^3+7^2+7+1) (7^66+7^55+7^44+7^33+7^22+7^11+1)
約数をあと4つほど
nn)/
(おまけ) 大正解，お２人目です．
まさにタイトルにふさわしい「ラッキー 7 がいっぱい」の解答です． 同じ方向からですので，fyh さんと 2 つ重なっています． c は重複しない 8 個の素因数からなりますので，1 と c 自身を含め，2^8 = 256 個の約数があります． その中の 2 つがより一般的な問題に対する解答を導く重要なキーになりますので， 今回の答のうち 7 の次数が大きい 2 つに対する商がどう書けるか示してください．
皆様の解答をスレ主がひとり占めしているのはもったいないので， 解答を公開しました．投稿予定であった方は， どうかご了承ください． この後に少し解説を書きます．
用意した解答例もご覧ください．できるだけ中学生にも分かるように書いたつもりです．以後，補足説明です．
もともとの問題は，素数 p と合成数 (素数でない数) m に対して，整数 q = (p^m - 1)/(p - 1) が素数でないことを示すものです． 一般に整数 n について， x^n - 1 = (x - 1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1) ですから， x = p, n = m とした q は整数です． 合成数 m = r s (r, s は整数) とすれば， q = ((p^r)^s - 1)/(p - 1) = ((p^s)^r - 1)/(p - 1) と書けます． つまり， x = p^r, n = s または x = p^s, n = r とおくことにより， q が 2 つの整数 (p^r - 1)/(p - 1) および (p^s - 1)/(p - 1) で割りきれることが分かるでしょう． ですから，(おまけ) の答としては，ぜひ (7^7 - 1)/2, (7^11 - 1)/2 を書いて欲しかった訳です． ただし，m が合成数でなく素数であっても， q が素数になるとは限りません． 特に p = 2 の場合を調べると， 2^2 - 1 = 3, 2^3 - 1 = 7, 2^5 - 1 = 31, 2^7 - 1 = 127 までは素数になりますが， 2^11 - 1 = 2047 = 23x89 で合成数です． 以後， m = 13, 17, 19 に対しては素数になりますが， その後は，神が与えた素数と言われる 2^31 - 1 = 2147483647 まで合成数が続き， その次はやっと m = 61 に対して素数になります． (1) 7^77 を 7 = 4 + 3 = 8 - 1 = 6 + 1 として二項展開するか， 4 または 6 で割った余り (剰余) を考えればよく， どちらも本質的に同じ趣旨といえるでしょう．用意した解答例は 7 = 8 - 1 または 7 ≡ -1 (mod 4) に対応します． 皆様の解答に，これらの分解が全て出てきたのには感動しました． 特に 4 + 3 の二項展開は (2) にもうまく使えるのが，p = 7 とした面白さのひとつで，これも出していただきました． ただ，最初の REE さんの解答には意表をつかれました．いろいろなやり方があるものですね． (2) もともと 7 - 1 = 6 で割るところを 2 で割っていますから，上の説明より 3 の倍数になるのは明らかです． それでも (1) があったせいか，7^n - 1 が 6 で割れることに気づいた方は (おまけ) まで行ったおふたりで， そこに気づけば (おまけ) もできる道理です．ただ， 6 で割ると最小の約数は 29 ですから， それを偶然見つける可能性は小さいですし， x^n - 1 の因数分解は中学生向きでなく思い，易しくしました． 用意した解答例は， 7 = 6 + 1 または 7 ≡ 1 (mod 3) とすることを通じて解を得ることに対応します． 皆様のおかげで，思っていたよりずっと楽しい経験をさせていただきました．ご参加ありがとうございました．
中学生向けなのに合同式をフルに使っている僕の解答は違和感満載ですね
 個人的な興味で申し訳ない上に、問題に直接関係のない質問でさらに申し訳ないのですが、少しだけお付き合いいただけますでしょうか？ 293459まではなんとか自力で（といってもハラワタさんが紹介されている素因数分解のページを使ったのですが ）見つけられたのですが、それ以上の素数はどうやって見つけた（素数判定した）のでしょうか？やはりパソコンとか文明の利器を利用ですよね？ こちらのPCではスペックの問題か、でかい数字だとブラウザが応答しなくなってしまって  ↓ご丁寧にありがとうございます 
nn)/
一番簡単なのは，数式処理システムを使うことです．
よく使っている Maxima では，factor(2009); と打つだけで， ２ ７ ４１ と素因数分解してくれます．また，primep(293459); のように書くだけで， 素数かどうか判定 (true が返る）してくれます． Maxima は無料で，Windows 版，Mac 版，Linux 版，全て揃っています． ただし，扱える素数は，標準では 489318 番目の素数 7199921 までです． より大きな素数もオプションで扱えるようですが，ちゃんと調べていません． あの素因数分解ページも，もしかしたら，裏で Maxima が動いているのかも知れません． なお，Maple や Mathematica などの有料システムでは，もっと大きな素数が標準で使えますので， ここで示した素因数分解はそちらをチョコッと使いました． また，無料の数論専用システムもあるはずですので，探してみてください． |
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