半径30の真円のケーキがある。これをn人分に分けることを考えよう。但し、分ける際には必ず最初のケーキの中心が分割後の全てのケーキに共有されるようにし、全て扇形とする。要は普通の切り方である。しかし、ここにいるn人は互いに身分が異なり、従ってその取るべき量も互いに異なる。全て半径30の扇形に分けるのであるから、その大きさを調節するには中心角を変化させればよい。そこで次のような取り決めをする。

取り決め：n人は互いに身分が異なるので、最も身分が低いものの取る中心角をαとし、2番目に身分の低いものには2α、…、n番目に身分が低いものにはnαの中心角の分だけケーキを分け与える。但し、αは、ケーキに過不足がないように設定する。

更に、ケーキを切り分けた後、円周部だけを切り落として二等辺三角形にすることを考えよう。当然、2辺の等しい辺の長さが30である。ここで、切り落とした分は捨てることとするが、この捨てる部分の面積を考えたい。なお、円周部の切り落としが行えない、中心角180度以上のケーキが現れないような人数で行うものとする。また、本問における「面積」とは、ケーキの上表面積をいう。

問１　上記の条件を全て満足するような最小のn＝N_minを求めよ。

問２　正三角形のケーキを手にするのは誰か。全て求めよ。

問３　n(≧N_min}人で分けた場合、捨てる部分の面積を求めよ。

問４　限りなく多くの人数で分けた場合、捨てる部分の面積を求めよ。