計算間違いしていなければf(p)=2(p=1),それ以外は0になると思います。
ここからはコメントの質問に対する答えによりますので、現在思考を停止しております

rは2以上の自然数、s,tはs<tを満たす自然数。
（結局方程式は問題で設定されている条件ならどんなrstでも成り立つ、ということです）

pは自然数
f(p)＝Σ[q＝0〜p]pCq×(-1)^q×(p-2q)
（^は指数部を表します）
=Σ[q＝0〜p]pCq×p×(-1)^q + Σ [q＝0〜p]pCq×(-1)^q×(-2q)
=p×{1+(-1)}^p-2Σ [q＝0〜p]p!/{q!(p-q)!}×q×(-1)^q
=-2pΣ [q＝1〜p](p-1)!/{(q-1)!(p-q)!}×(-1)^q （q=0でΣの中身は0なのでq=1からの和になる）
= -2pΣ [q＝1〜p](p-1)C(q-1)×(-1)^q
= +2pΣ [q＝0〜(p-1)](p-1)Cq×(-1)^q（和をq-1をqで置き換えた）

p>=2なら
f(p)=2p(1+(-1))^(p-1)=0

p=1なら
2p=2（0C0=1です）

Σ[p＝1^s〜r^t]f(p)＝Σ[p＝r^(2s)〜r^(2t)]f(p)＋Σ[p＝1^(3s)〜1^(3t)]f(p)
rは2以上の自然数、s<t,st自然数
（左辺）=f(1)+f(2)+…=f(1)=2
（右辺第一項）はr^(2s)>1なので0になる。
（右辺第二項）=f(1)=2

つまりこの式は2以上の自然数r、s<tを満たす自然数stについて、常に成り立つ。