質問です
二変数に限らない場合の証明が要求されているのでしょうか？

高校一年レベルで…

あれ？今って数学的帰納法は数Ｂでしたっけ？
じゃぁもしかして帰納法は使えない？

すいません、これまた質問です

回答者が少ないのでヒント ↓
まずは二変数の場合。一般式はこれでいいですよね。


x₁^a₁x₂^a₂+x₁^a₂x₂^a₁


変形すると


x₁^a₁x₂^a₁(x₁^a₃+x₂^a₃)


これよりx₁ⁿ+x₂ⁿが基本対称式で表されることを示したいですね。


これをT_nとあらわすことにします。


T_n=S₁T_n-1-S₂T_n-2


（ただしS₁,S₂は基本対称式）


この式を使えば証明できますよね。これでニ変数の時の証明はおわりです。

またヒント↓
次は三変数。同じようにT_nの値を考えます。迷った人がいるかもしれませんが


T_n=S₁T_n-1-S₂T_n-2+S₃T_n-3


・・・規則性が見えてきましたね。これはさておき、一般の場合の証明です。（三変数の）（ここから少し話が難しくなる（と思う）ので、せつめいが下手になるかもしれません。）


x₁とx₂とx₃においてT_nが表されることが分かりました。


ではx₁ⁿx₂ⁿ+x₂ⁿx₃ⁿ+x₃ⁿx₁ⁿはどうでしょうか。これをT´_nとおきます。


x₁がx₁x₂に、x₂がx₂x₃に、x₃がx₃x₁になったと考えると、


S1´=S2,S2´=S1S3,S3´=S3S3（ここから記号を少し省略）


これよりTn´は基本対称式であらわせます。

↑n=3ではそれを調べるだけでは不十分ですよね
以下白くしてます
x²y²+y²z²+z²x²とか、x²y+y²z+z²x+xy²+yz²+zx²のように、xⁿ+yⁿ+zⁿ以外も調べる必要がありますよね

久々ヒント（ていうかもうほぼ答え ）↓
ここからが難しくなります。
x1^ax2^b・・・xn^cに関する対称式（説明しにくいので、これでわかってください ）を
(a,b,・・・,c)と表すこととすると、三変数の一般式は(a,b,c)になります。
この一般式をS3^aでくくると


(a,b,c)=S3^a(0,b-a,c-a)

ところで、


(0,b-a,b-a)=2T(b-a)´

より(0,b-a,b-a)は基本対称式で表せます。(0,b-a,c-a)にするには


片方のb-aをc-aに変形する、と考えます。（この考え方が大切です）


x1^b-ax2^b-aをx1^c-ax2^b-aにするにはどうすればいいでしょう。当たり前のことですが

x1^c-bをかければいいのです。というわけで掛けてみます。


T(b-a)´T(c-b)
=(0,b-a,c-a)+(b-a,b-a,c-b)*1/2


=(0,b-a,c-a)+S3^b-aT(a-2b+c)

考えた後、囁くのも大変だと思ったので、ネットで同じような考え方をしているサイトを囁いておきます。
基本的には僕はこういう考え方で進めようと思っていました。
しかしながら細かいところを詰めて考え、解答を文章にするところまでは至っていません。

答えヒント追加。↓
よって

(0,b-a,c-a)=T(b-a)´T(c-b)-S3^b-aT(a-2b+c)

つまり

(a,b,c)=S3^a{T(b-a)´T(c-b)-S3^b-aT(a-2b+c)

}

これが三変数のときの一般式です。

さて、いよいよ変数がm個のときを考えていきましょう。
今までの式から

T(n)=S1T(n-1)-S2T(n-2)+･･･+(-1)^k+1SkT(n-k)+･･･

+(-1)^m+1SmT(n-m)

と予想されます。これをmが奇数の場合と偶数の場合とわけて考えます。