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 線分上の点の数
難易度：★★
 ビリオンズ
2009/05/13 20:19
平面上に1cmの線分ABと2cmの線分CDが1cmの間隔をあけて平行に並んでいるとします。
A━━━B C━━━━━━D 線とは点の集まりですから線分AB、CD上にはそれぞれいくつかの点が必ず存在しているはずです。 ここで問題です。 線分AB上の点の数と線分CD上の点の数について ①線分AB上の点の数の方が多い ②線分CD上の点の数の方が多い ③同じ ④比べられない この四択のうちどれか、理由を添えて答えてください。 なお、④の場合もなぜ比べられないのか、根拠を示すようにお願いします。 ※ちなみにこの問題の解答については、ある大学教授の見解を参考にしています。他の見解を持つ人も多数いますが、一般的に最も論理的で美しいとされているものを解答としました。
 ヒントが3つあるよ |
回答募集は終了しました。
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③同じ
ADとBCの交点を点Mとしたとき、 線分ADと点Mを通る 直線の数と 線分BCと点Mを通る 直線の数が等しいため。 
説明下手ですみません
 
ビリオンズ
考え方も選択肢もOK。ただちょっとしたミスが・・・
もう一度自分の解答を読み直してみて ３番の「同じ」であ～るるる！<br>線の中にある点の数なんて無限大るる。<br>ＡＢもＣＤも、点の数はどちらも無限大に発散するならば、<br>どちらも同じく無限なのであ～るるる。
一応、できたるるが・・・・・。数学は苦手るる・・・・。
（よ、よりによって１分差で奪われたるる！！） 
ビリオンズ
選択肢はあってます。
ただ論理性に少し乏しいかな
同じ大きさの点が、
同じ間隔で集まっているなら 線分CD上の点の数の方が多い この条件が崩れる場合は、 各点の大きさや間隔が分からないと 比べられない。 同じ理由において 「線分AB上の点の数の方が多い」 や 「同じ」 の可能性もある
点をどう考えるかってことかな？
ビリオンズ
一応この解答でも間違っていると断言することはできないんですが、私の期待する解答ではないですね。
まず数学における点については大きさという概念がありません。 あくまでその位置を示すものですから。 ですから点を具体的に想像して解くのはこの問題では不可能なんです。 でも、比較することはできる。じゃあどうすれば・・・ ２番・まず、線ＡＢを構成する点の合計を
Ｚと置きます（Ｚ＞０）。２ＡＢ＝ＣＤなので、ＣＤ＝２Ｚと置けます（こう置いても特に問題ない）。Ｚ＜２Ｚから、１、３番は不適、４番は線分の構成要素が同じであれば不適としても特に問題ないから２番
単純に考えて
ビリオンズ
この解答は必ず来ると思ってました。
間違いと言い切る根拠もありませんせんが、線の長さと点の数が比例することは、感覚的には正しそうなんですが、絶対的に正しいと言い切ることもできないんですよね
点は有限じゃないので基本は３番・個人的には４番・「直線」はある点と点を最短でつないだものとする。点が有限ならば、点Ａと最短距離にある点Ｓが存在し、かつＡＳは最短。しかし、1/2ＡＳとなるような点ＱをＡＳ上にとると、ＡＱは直線かつ、あきらかにＡＱ＜ＡＳ、これは矛盾する、よって点は有限ではない。無限に正の数をかけても無限だから、３番。しかし・・個人的には不老不死の人がいたとして、その人が１人と２人、身長が１ｍと２ｍでもそれらは同じというのはありえない（この問題において、直線と点の関係をこのようにおいても別に問題ない）ので４番が美しいと思いますね俺は。
じゃあ普通に
ビリオンズ
ゲランコさんと同じ解答ですが、論理性を考えるとよりいい解答ですね。
ちなみに後半の例はこの問題と対応していません。もし対応させるならば、例えば、６畳の部屋と１２畳の部屋にそれぞれ無限に多くの人が存在しているとしたらどちらが多いか、といった感じになると思います。 ただ、しっくりこない気持ちは分かります
うーん
・・・そちらの表現の方がわかりやすいですが６畳の部屋、１２畳の部屋と人との関係性は俺の例と同じことですよ？ 部屋を「」、人をｈとすればこの問題は「ｈ」といったとこでしょうが 俺の例の何が「」で何がｈなのかわかってもらえれば幸いです 補足すれば、俺の例もｈは「」の構成要素ですが、「」には影響がありません さらに、部屋から人がいなくなっても部屋は存在してしまいますが （この問題で点が０ならば線は書けません）俺の例は一応そこも配慮して あの形になっています（ｈが０なら「」はいなくなる）
ビリオンズ
そうですか。私の理解力不足ですかね
つまり無限個の命で構成された人間・・・ということですか？ なんかしっくりこないんですが・・・。 二点ADを結ぶ。
二点BCを結ぶ。 交点をOとする。 線分AB上の任意の点Xに対し、点Oを通る直線OXを引いて線分CDとの交点をとれば、線分CD上の一点Yが対応する。 Xが異なればYも異なる点である。 このように線分AB上の点と線分CD上の点について一対一対応をとれるので、線分上の点の数は同じ。 答え③
特にひねりがなければこういう答えだったと思いますが…
結構有名な話だったと思います  他に有名なのでは、 「1cmの線分と一辺1cmの正方形の点の数はどちらが多い？」 とか  
ビリオンズ
正解！完璧です！
点が位置情報しかもたないとしても、
点と点があればその間に距離があるので、 AB上のAからX離れた点と CD上のCからX離れた点を 相殺していく。 相殺出来る点がなくなった時点で、 AB上の点は全て無くなるが、 CD上の点は残るのでCD上の点の方が多い。
どうかな？
ビリオンズ
気持ちはすごく分かるんですが、点の数が有限個でない以上、その考えでは、相殺できる点がなくなることはありえないんです
すいませ～ん
 上の質問に答えていただけないでしょうか？自分の例えとビリオンズさんの例えの明確な違いがわかりません また、どこがおかしかったでしょうか？今後の為にもおしえてください 囁きオープンしちゃってください  すいませんお手数掛けて・・・アホなんで
すいません
 メダルのやつとコメント無くして頂けたら幸いです（他の人の邪魔になってしまう） ていうかオープンだとやはりまずいですかね・・・（今は人いないから大丈夫） まずいと思われたら隠すか削除して下さい（他の人のヒントになると思われたらですが）自分の例の説明はまた後のコメントでしますのでお願いします
ビリオンズ
そうですね、分かりました。
「１」線。「２」点。「３」点は線の構成要素であり、線の状態は点の個数に影響がない、かつ点の個数も０でない限り（あまり意味無いですが）影響がない。「４」無限。「５」無限の命や寿命が無限。「６」命は人の構成要素であり、人の状態（背の高さとか）に影響がなく、かつ無ければ死ぬが、命の長さが人の状態に影響は与えない。「７」点の個数が同じ。「８」命の長さが同じでも「９」人の状態は１ｍと２ｍでは違う。「１０」すべて同じと扱う<br>。「１１」３番
コメントに書くのはまずそうなとこは「１」みたいな形で囁きます
まず、「この問題においての」「１」と「２」は「３」という関係です （自分の例の不老不死を「４」を使って簡潔に表現するなら「５」と 表現できるでしょう、よって次からは不老不死を「５」とします） 自分の例における、人は「１」、「５」は「２」と捉えてください この場合、人と「５」は「６」から「１」と「２」の関係と同じといえます （ここに色々な疑問があるのでしょうが、基本は「６」で大丈夫でしょう、 そうでなければ、部屋と人の関係は人がいかなる状態でも部屋に影響が無い のもおかしいでしょう） また、自分は最初に基本ー、個人的に～と書き、本文もこの問題に対しての解答 と、しかし～～と個人的な見解を述べる部分とに分けています。このしかし～～ の部分で述べていることは、端的にいえば、１ｃｍと２ｃｍの線は「７」でも 長さは違います。これと同様に「８」、「９」。これを「１０」のは、基本 数学的に（つまりこの問題に対する解答）として「１１」が正しいとしても、 自分は～というような方が好きだという個人的な感想だというのは理解して もらいたいです（この問題に対する常識的な解答は「１１」だとちゃんと認識 しています）。 長文すみませんね ちなみに自分は「基本ー」に対しての評価に不服はないですよ（別にバツでもいい）ただ、自分の挙げた例に対してそれは違う、 ～だとおっしゃるのであれば、なぜ違うのか？に対する返答（これこれこう だから違うのような）と、自分が～は微妙に違うのではないか？（部屋から 人がいなくなっても部屋が成立している点）に対する返答は用意しておくべき だと思うのです（ーは～だから違う、－は～だから矛盾しない等、そうすれば 納得することができる）これは、ここでクイズを出すならばすべきでしょうし、 それができないならば、安易にそれは違うということは避けるべきだと思うのです。 すいませんね 長い話して あとこの囁きは不都合でなければ公開して下さってかまいません。
ビリオンズ
長文御苦労さまです。
まず、最初になぜ違うのかを明示しなかったのは、正しい例を示せば気づいてくれると思ったからです。 確かにこれは少し安直であったかもしれません。お詫びします。 それで本題ですが、私が指摘しているのは、命の「４」と点の「４」では全然意味が違うということです。 簡単に言えば時間的な「４」と数値的な「４」の違いですね。 それをまず理解してもらいたい。 これは前にも記述をしたはずです。 「４」の点は「４」にあるのにたいし、「４」の命は１つしかないのです。 そして「部屋から人がいなくなっても部屋が成立している点」についてですが、 この問題において例を示すにあたって重要となるのはある範囲に無数のものが集まっていることを示すことですから、その点は特に重要ではありません。 さらに私の意図としては部屋とは範囲を示すもの(つまり問題でのA～B,C～Dのこと)であり、直線を表すのは人のあつまりであったのですが伝わらなかったでしょうか？ また敢えて範囲を部屋としたのは具体性をもたせ分かりやすくするためであり、またそれが例示の基本でもあります。 無限であれば、
無限対無限の比較になるので、 どちらが多いとはいえない。 (比較できないってことになるのかな？) どうちらも無限であるので、 同じといえるのかな？
No.8へのコメントから考えてみました。
ビリオンズ
下の方で一応正解です。
しかしやはりそれだけだと論理性に欠けてしまうんですよね もう一つ上を目指すのなら次はヒントを参考に数学的な証明を考えてみてください。
返信ありがとうございます
そのように答えてもらえればいろいろ考えることができますね。ですが、残念ながら、やはりこちらの趣旨を誤解されて いますね・・・ 例えば「４」の点は４つの「１」の点に分けられますねそして、「４」の時間は４つの「１」の時間に分けられますね （例えば「４分」は４つの「１分」に分けて考えられますね） 無限の命の人間が１人いるとすると、彼は１人ですが、彼の命の長さは 無限ですよね？私はこの問題における「線」は彼、「点」は命の長さだと 言っているんですが・・・ビリオンズさんは「点」と「点」ではなく、 「点」と「線」を比べられていることにお気づきでしょうか？４本の「線」と ４個の「点」の、「点」の数を比べても意味がないでしょう。 また、平面的な問題に、時間的な例えを使うことがいけないのでしょうか？ （りんご３個＋みかん４個はいくつ？という問題を、３分＋みかん４個は？ というのではおかしいですが、３分＋４分は何分か？として考えても別に 問題ないでしょう・・・分を個に直すの忘れなければですが ）部屋の件は俺の理解不足でしたね、すいません
ビリオンズ
あなたは「１つの点」→「ある時間(例えば１分)」と捉えたわけですね？
そうすると「ある時間」が無限に集まり形づくるものは「彼」ではなく「彼の寿命」ですよね？ よって「線分」→「彼の寿命」という対応となってしまうのです。 したがって線分の存在する有限な範囲がないのです。 つまり無限個の点が無限に長い線分を構成していることになっているのです。 つまりあなたは「点」と「線分」を違う次元で考えてしまっているのです。 もし「線分」→「彼」の対応を成したいのであれば、たとえば、「１つの点」→「彼を形作る１つの細胞」とし、細胞が無限にあると仮定するのが妥当でしょう。
確かに、彼を構成しているのは細胞です。その通りですね。
しかし、自分はNO6で書いてるんですけど彼の命が０にならば、彼は いなくなると言っているように、物質的なことだけでで彼を表現して いないんですが・・（寿命が無くなっても、物質的には彼は消えませんね・・・） それに、あくまで例えの話です、そこまで定義づけた話である必要がありますかね？ 彼は寿命以外の色んな物で構成されていますが、寿命は彼を、 どうこうしませんし、逆もそうです、この部分が本質的に線と点の関係と 同じであるとすることに深刻な問題が生じますかね？彼は寿命と色んな物で、 線は点で構成されている、寿命も点も０でない限り、何の影響も無い時点で 同じなんですよ、０なら彼も線も消えちゃいますし。彼は細胞で・・・という のなら６畳に入る、無数の人間も存在しませんね、細胞はいくらでも小さくは なれませんから。
ビリオンズ
元に帰って分かりやすく説明しましょう。
あなたの例： 1mの不老不死の人間と2mの不老不死の人間が同じだとは思えない。 ここであなたは 点→寿命 線分→人間 と対応させた。 しかしこの場合、寿命が、あくまでその人が死ぬまでの時間を示すもので、人間の物質的(というより直接的？)な構成要素ではない以上、1mや2mという差異は意味を成さないんですよ。 しかし、 点→細胞 線分→人間 と対応させるならば、細胞が人間の物質的(直接的)な構成要素であるので、1mや2mという差異に意味が出てくるんです。 つまりこういった問題が生じるために私はあなたの対応が間違っていると指摘したのです。この問題は深刻とまではいきませんが重要な問題です。 理解していただけたらいいのですが。 あと、細胞や人間は体積を持つので範囲内で無数に存在するのは不可能だというくだりですが、まったくもってそのとおりです しかしこれはあくまで例示に具体性を持たせるために体積のある物質を示しただけであり、ここに大きな問題は生じません。
それはこの問題において線が１ｃｍでも２ｃｍでも点の状態に影響がないからです
（１ｃｍと２ｃｍの線が同数の点を含んだとしても、２ｃｍの方の点が大きいだとか 小さいとかいうことはない）だから、差異が意味を成さない方が、意味を成すよりいいんですよ。 例えば、１ｍの人と２ｍの人が同じ数の細胞を持っていると仮定すると、細胞の大きさに差異が 生じてしまうことは、この問題における点と本質的に違うものなのでは？また自分が「同じではないと思う」といっているのは、１ｃｍと２ｃｍの線の「長さ」が同じではない以上、先の細胞の「大きさ」 のように、現実的には違和感が生じるという意味ですよ（アポロチョコ１０個とチロルチョコ１０個は 同じじゃないですから）これは個人的に～の方に書いてますから、自分の「感想」ですしね そして自分がビリオンズさんの姿勢で疑問なのは、「ここに大きな問題は生じません」とおっしゃて いる点です、自分から言わせれば、「人間の大きさ」が「細胞の大きさ」に影響があることは、 重要な問題がなく、「差異の有無」が重要な問題であるとする「線引き」はどこにあるのか疑問な んです。自分から言わせれば両者とも「厳密には違うが、例えとすれば別に問題はない」ですよ。 それを、「数学の証明外」で使ったとして、誤りといえますかね？厳密な定義の中では、自分と ビリオンズさんの例えは両者とも失格ですよ。
ビリオンズ
理解していただけなくて残念です
 しかし理解をすることは大切ですので、できる限りの説明は致します。 １文づつ説明しましょうか。 ＞＞それはこの問題において線が１ｃｍでも２ｃｍでも点の状態に影響がないからです（１ｃｍと２ｃｍの線が同数の点を含んだとしても、２ｃｍの方の点が大きいだとか小さいとかいうことはない）だから、差異が意味を成さない方が、意味を成すよりいいんですよ。 ～だから、までは合っています。しかし最後の所との因果関係がめちゃくちゃですね。あくまでこの問題においては、"無数の点が異なる範囲に収まっているときどちらが多いか"ということが問題となっています。しかし差異が意味をなくしてしまったら、"無数の点が同じ範囲に収まっているときどちらが多いか"という問題に変わってしまいます。これは問題の構造上大きな問題といえます。 ＞＞例えば、１ｍの人と２ｍの人が同じ数の細胞を持っていると仮定すると、細胞の大きさに差異が生じてしまうことは、この問題における点と本質的に違うものなのでは？ まず同じ数の細胞を持っていると仮定はしていません。私は無数の細胞を持っていると仮定しました。そして無数の細胞を持っていると仮定したことによって、細胞自体に体積がないということも同時に仮定したこととなるのです。 ＞＞また自分が「同じではないと思う」といっているのは、１ｃｍと２ｃｍの線の「長さ」が同じではない以上、先の細胞の「大きさ」のように、現実的には違和感が生じるという意味ですよ（アポロチョコ１０個とチロルチョコ１０個は同じじゃないですから） 意味は分かりますよ。つまり線分の長さが同じでないのにその線分を構成する点の数が同じであるというというのは現実的に違和感が生じるということですよね？しかしあなたの例ではこのことを表していなかったのです。これは何度も指摘させていただいたので理解されておられると思いますが あと勘違いがありますね。アポロチョコ１０個とチロルチョコ１０個は同じじゃないことについてですが、この問題で問うているのはあくまで点の数です。アポロチョコ、チロルチョコを点と考えるならばこれらは真っ先に同じであるはず。つまりあなたは、④が美しいと言った（点の数が比べられないとした方が美しいと言った）わけなのに点の数が同じと前提にしてその点自身が違うのだと全く問題を外れたことを言っているけです。 ＞＞これは個人的に～の方に書いてますから、自分の「感想」ですしね 自分の「感想」だから特に論理のくずれなどは気にするなという意図であると思いますが、いくら感想であるとも論理のくずれたものを放っておけないたちですので しかもあなたにきちんと理解していただくためにも指摘した方が良いと思いまして・・・。 ＞＞そして自分がビリオンズさんの姿勢で疑問なのは、「ここに大きな問題は生じません」とおっしゃている点です、自分から言わせれば、「人間の大きさ」が「細胞の大きさ」に影響があることは、重要な問題がなく、「差異の有無」が重要な問題であるとする「線引き」はどこにあるのか疑問なんです。 「人間の大きさ」が「細胞の大きさ」に影響があるわけじゃないんですよ。先ほども述べましたように、私は細胞が無数に存在すると仮定したわけですので、その時点で細胞に大きさという概念はないんです。だから問題が生じることはないと言っているわけです。 「差異の有無」が重要な問題であると言っているのは、点の数を問う問題との構造のずれが生じてしまうためです。これは最初の文のところで説明しましたね。 ＞＞自分から言わせれば両者とも「厳密には違うが、例えとすれば別に問題はない」ですよ。 それは残念ながら私の例だけなのです。あなたの例では、構造がとれてない以上、例としての役割を果たせていないんですよ。もしそうでないとしたら、例が例ではなくなってしまいます。 ＞＞それを、「数学の証明外」で使ったとして、誤りといえますかね？厳密な定義の中では、自分とビリオンズさんの例えは両者とも失格ですよ。 私の例に数学的な不備がないということはこれまでの記述で分かっていただけたかと思います。
長文ご苦労様です
えっと・・内容を完全に理解している訳ではないのですが箇条書きすると。 １・差異が意味無かったら意味無い ２・同数では無く、無数との仮定であり、それは同時に体積も無いという仮定になる ３・言いたいことはわかるが、例は的外れ、あと、この問題は数を問うているからチョコは同じ ４・感想だからと、論理の崩れは許されない ５・ビリオンズさんの例は構造がとれているが、自分のはとれていない ６・ビリオンズさんの例は数学的不備がない・・・ですかね・・・なら １は厳密にいえばそうですよ、しかし、厳密にいえばビリオンズさんの例も人の 大きさが変わる（線ＡＢとＣＤの点は比べても同じ「点」です）から、どちらもやはり 駄目でしょう。これは「点」という、「位置」位しかないようなものを、物質的な物で 表そうとするのが無理があるからなんですよ、ここで自分は「線と点の状態は互いに 無関係である」ことに、ビリオンズさんは「線は点の集合であり、点の集合が線である」に 重きをおいているから、差異がなかったり、大きさが違っちゃうんですよ。 ２は意味不明です、ここに無限個の細胞がある、これの体積は？と聞かれて普通 「０」ですと答えますかね。常識的じゃないです。これは先も言いましたがそもそも 物質的に表そうするからある程度おかしなとこあるのはしょうがないんですよ、お互いに。 ３・言いたいことが（ある種の違和感）伝わったんなら例の役割果たしてますよね、 完全に対応してなければ伝わりませんよ。両者の例は完全に対応してないが ある程度対応している、だから別に問題ないんですよ。あと、俺はどこにも 数が違うとは書いてませんよ、「美しい」というのは「正しい」というわけじゃないでしょう 数学的に３、美しいと思うのは４なだけで答えが４とは言ってないですから。 また、チョコの個数は一緒でも、違うチョコでしょ？と言ってるだけで、この問題に 解答しているわけじゃないですから、この問題が何を問うているかは関係ないんですよ この問題に対する数学的な解答は３、個人的に美しいと思うのは４なだけなんですよ。 ４・誰もそんなこと言ってないですよ？この問題の対しての解答は「３」と 答えた時点で終わっているんですよ。なのに、それ以降にも、問われているのは 「個数」だから「質」は関係ないとおっしゃるから書いたんですよ、単純な「個数」 の話は「３」と答えた時点で終わっているんですよ。そうでなければ二つに分けて 書く意味がないでしょう。また、論理的な崩れは「線と点」を物質的に例示すれば ある程度しょうがないでしょう。「線と点」の関係に完全に対応するのは「線と点」 だけじゃないですかね。 ５・これは「線は点の集合であり、点の集合が線である」という点で見ればそうです しかし、「線ＡＢとＣＤの「点」は比較して、同じ「点」である」という点からは 違います、この問題で問われているのは数学的な「点」の個数で、それらは同じ点です この問題の数学的な解答は３の「同じ」、ならばＮと２Ｎの範囲に「同じ」人数 の人を両方隙間なく入れた時、大きさが異なる点でビリオンズさんの例えも構造上 おかしいですよ（質の異なるものを比べている、線ＡＢとＣＤの点は同じ質） ６・５のように性質が違うものを比較してますから、これは不備ですね。 しかし、長い文書くと疲れますね、脳トレになればいいな
ビリオンズ
いつになったら分かってもらえるのやら・・・
長文はだるいのでできるだけ簡潔にお答えします。 ＞＞１ 人の大きさは変わらないのです。無限にいると仮定した時点で大きさという概念は成立しないのです。 例を示すにあたって、問題の構造をただしく捉える必要があるため、差異に意味を持たせる必要があるのです。 ＞＞２ しかしこれが明確に点の性質を表しているのです。 点の長さは０ですよね？では線分AB上に無限個の点が並んでいる、これの長さは？と聞かれたとしたら普通０と答えますかね？ ＞＞３ まずあなたの言いたいことを理解したのは例からではありません。普通多くの人が持つだろう違和感だから違和感と聞いておそらくそれだろうと思っただけです。あなたの例ははっきり言って私には理解不能でした。 あと後半部についてですが、ここまで矛盾した解答が来るとは思いませんでした ではあなたが美しいと思っているものは④ではなかったのですね？つまり、あなたは1mの不老不死の人間と2mの不老不死の人間の寿命は比べられないとした方が美しいではなく、1mの不老不死の人間と2mの不老不死の人間は同じでないとした方が美しいとしたわけですね？ つまりこれは問題と全く関係ないですし、美しいというより当然のことですね。例えば、線分ABとCDは全く別物ですから。しかしあなたは④が美しいとした。これが誤りだったんですね。④はあくまで問題に起因した数を問うものですから。 ＞＞４ これも＞＞３と同様ですね、あなたが④が美しいとしたのが誤りだったのです。 あと線と点に完全に対応するのは線と点だけ、についてですが、もし対応でなく一致でしたらそうですが、ここではあくまで対応ですので。 ＞＞５ 「線ＡＢとＣＤの「点」は比較して、同じ「点」である」という点でも私の例は正しくあらわしてるんですよ。例えば部屋内の人間の例ですと、人間が無数にいると仮定したので人間の体積は０と仮定したことになり、この時点で人間はすべて個性など(ここではそこまで問わなくていいと思いますが)を除き同じであることになるのです。 ＞＞６ ＞＞５より不備はないのです。 結局長文になってしまったかな ※返信が今日の午後21:00以降になると当分お答えできない可能性があります。 線分は点の集合体であり、線分上に存在する点の数は無限である。
よって二つは同じ。答③ 線分AB上の点の個数を考える。 ABの中点a,Aaの中点b…… 線分CD上の点の個数を考える。 CDの中点E,CEの中点F…… これが永遠に続くので、点の数は同じ。答③ 線分AB上の点を、Aからの距離n表す。 線分CD上の点を、Cからの距離mで表す。 mと2nの点を組みにしていく。 すると、あまりは出ない。 よって点の数は同じ③ 難しいことはさておき、無限の取扱の問題ですよね。
ええ、正解ではないのはわかってます
いろいろな見解がありますよね 
ビリオンズ
正解といったら正解です
私の用意した解答とは異なりますが あとこれは主観ですが２番目の解答が最もいいですね。1つ目はちょっと論理性に欠けていて、3番目はなぜあまりがでないのかがはっきりしていませんからね。
うーん・・・俺も疑問点だけ聞きますね。
例が対応していない・この問題で「線と点」は「線の長さは点の個数に関係なく、また、点の個数も線の長さに関係ない」関係と言えますよね、「寿命の長さが人の身長に関係なく、また、身長も寿命の長さに関係ない」という関係、つまり、両者とも「お互いにある点に関して無関係」というとこは共通してますよね。ならば、この部分が共通していても「対応していない」といえるほど、この関係性は意味がない ものですかね？（寿命が０なら彼が、点が０なら線は無くなるということはリンクしています）
ビリオンズ
意味がないとは言えません。
ですがあなたはその関係に固執しすぎているため、「点が線を構成している」という最も基本である関係を見落としてしまっているのです。 その関係に気づいたことは素晴らしいことですが、基本がしっかりしていないので、対応しているとは言えないんです。
寿命が０になると死ぬ点で、寿命は彼を構成していますよ
不老不死の人間→死んだ人間となるわけですから 寿命は「不老不死の人間」を構成しているのでは？
ビリオンズ
無数の寿命が彼を構成している、と定義するならばOKでしょうが、あくまで寿命は生命の存続する期間であるため、次元が違うのです。よってそう定義するのはあまりよろしくないと思われます。
分かりやすくするために、やはりここでは細胞とするのが妥当でしょう。
ビリオンズ
次元が違うと問題と対応しなくなってしまうからです。
(説明下手ですいませんが・・・) ですから先ほども言いましたように無数の寿命が彼を構成している、ともし定義をするのならば対応しているといえます。しかし、それが分かりにくいので、細胞とするのが妥当だと言っているのです。
ですから、「対応しているが、分かりにくい」ことが「妥当」かどうかではではなく
「対応しているのか、いないのか」です。この場合「対応している」んですよね。 ここはどのような人も、どのような解答も拒んでいません、また、違う側面や 方向からみて、「間違いといえない」ときのために「別解」や「感服」メダルがあるのです。 ここでは、それほど、「間違い」とすることに慎重でなければならないんですよ 自分は最初に「そちらの方が分かりやすいが、こちらも対応している」と言ってますよね？ あなたはそれを「間違い」とおっしゃりましたが結局、それが「間違い」だったわけです （「妥当」ではないかもしれませんが、「対応」していたわけですから） すいませんね・・・長く絡んで、自分は「間違い」だと言われても何も感じませんが、 小学生、中学生は傷つくかもしれないんですよ。この問題に対して彼らが答えんとは 限らないんですよ（自分の方法は小学生でも使えそうですから） 自分はこの問題を見た時に「他の見解を持つ人」が多数いるのに、なぜ「最も論理的で 美しいものが解答」なのか疑問でした。この場合、「自分が最も～と思う解答」とすべき な気がしたのです。自分の言いたいことを片隅に、これからもここでいい問題を出して 頂ければ嬉しい限りです。ビリオンズさん、他の参加者の皆さん、ご迷惑おかけして 申し訳ありませんでした。上の自分のコメントは邪魔であれば消していただいてかまいません。
ビリオンズ
やはり分かっていただけていませんでしたね
私が対応していると言ったのは無数の寿命が彼を構成している、ともし定義をするのならば、です。 しかし実質的に寿命というものは期間を表すのでありこの定義はめちゃくちゃなものであるのです。 例えば、5mを1kgであると定義すれば、1kg＋5m=2kgであると言っているようなものです。 つまり次元を変えて定義しなければならなくなり、これは不可能とは言えないとは思いますが、大変無理のある行為なのです。 さらにあなたは例を出した時にこれをきちんと定義していなかった。即ち対応していなかったんです。 後から「～は～と定義する」などと言えばいくらでも対応のとれた例に修正することは可能です。 しかし最初に見たあなたの例は明らかに対応していなかった。 したがって私は間違いだといったのです。 これは別解でもないし、感服も致しませんでした。 ただの間違い(勘違い)でしたから。 間違いだと言われて小学生・中学生は傷つくかもしれないといえども間違いは間違いです。ではあなたは1+2=5だと解答した小学生に間違いではないといいますか？人間は間違えて成長するものです。自分の間違いを認識し、理解してこそ、人間は成長するんです。そして私はあなたにも自分の間違いを認識し、理解してほしかったのです。 最も論理的で美しいものが解答 ↓ 一般的に最も論理的で美しいとされている解答 という意味です。もし伝わっていなかったのならすいませんでした。 まぁ小説の問題でも思い浮かべてみてください。解答はいくつもありますがやはり一般的に正しいとされる解答は存在しているのです。
解答を発表しました。
約１週間後、回答を締め切らせてもらいます。 参加者のみなさんありがとうございました  またおもしろい問題を見つけましたら出題します。
数学弱いので、感覚的です。
解答の説明はよく理解できます。 たぶん、この、根底には、∞＝∞ ということがあるのでしょう。 たとえば、線分ABを線分CDに AとCをつけて重ねたとします。 当然、B点は線分CDの真ん中に来ます。 そこで、線分ABと、線分ABと重なっている線分CDの 部分を、消してしまいます。 同じ数だけ消したはず。 CDの線分は、まだ１CM残りますよね。 ABはもう、存在しません。 やっぱり、CDの方が点が多かった。 ということにはならないのですか?
ビリオンズ
まず、MはCDの中点でいいのかな？
この解答がきっと多くの人が考えるものだと思います。 やっぱり無限の取り扱いは難しいですよね。 実をいうとこの解答も捉え方によっては正解とも言えるんです。 線分AB上の点の数は線分CM上の点の数と等しいといえるのです。 しかし、線分AB上の点の数は、線分CD上の点の数と等しいともまた言えるのです。 つまり線分CM上の点の数は線分CD上の点の数と等しいといえる。 違和感がありますが、これが無限なんです。 無限の取り扱いは非常に難しいですが、一般的に言われているのは、"線分上の点の数は全て等しい"ということのようです。 しかしあなたの解答も間違っているとはいえないんですよ。要は無限をどう扱うかです。 つまり、"∞個のものにα個のものを加えても∞個である"ととるか、 "∞個のものにα個のものを加えたら∞個より多くなる"ととるか、 の違いですね。 ※α、∞はここでは自然数であるとする。 ※ちなみにこの場合ではα=∞です。
点Aの座標をX1,Y1
点Bの座標をX2,Y2 点Cの座標をX3,Y3 点Dの座標をX4,Y4 として、 「平面上に1cmの線分ABと2cmの線分CDが 1cmの間隔をあけて平行に並んでいるとします。」という 条件を崩さないように X1=X3となるように配置する。 平行に並んでいるので、 ABとCDを垂直に通過する直線が引ける。 この垂直な線はAB上の1つの点とCD上の1つの点を通過している。 1つの直線がどちらかを通過していないことや、 どちらかの2点以上を通過していることはない。 AB上の全ての点を通過するABとCDに垂直な直線を 引いた場合に、 垂直な線が通過していない点がCD上に存在する。 これによってCDの方が点が多いことにはならないだろうか。 それと、線分自体が有限な長さなので、 有限の中に無限は入れれないので、 点の数も有限では？ それと、AB,CDに同じルールで点を設定すれば、 長さと点の数は比例するのでは？ （同じルールで設定していない時点で、 比較は無意味だと思う）
ビリオンズ
これも、マキチャンさんへの返信を見ていただければ分かると思います。
捉え方によっては、CD上の点の数が多いといえます。 しかし、同じルールで点を設定したとしても、点の数は無限なので(点の数が無限であることは>>5でlbjさんが分かりやすく証明してくださっているのでそちらを参照してください)、垂直な直線も無限に存在することになります。 ここで問題となるのは、"∞個のものにα個のものを加えたら∞個より多くなる"ととっていいのかということでです。 一般的には、、"∞個のものにα個のものを加えても∞個である"と考えられていて、私もその方が美しいとは思います。 ※α、∞はここでは自然数であるとする。 ※ちなみにこの場合ではα=∞です。
無限は不思議ですよね
 ちなみに僕が挙げた例「1cmの線分と1cm四方の正方形」の点の数も同じ無限個です ↑∞＋∞＝∞というのは少し誤解を招くおそれがあるのでは？ 例えば有理数＋無理数＝実数ですけど実数と有理数の無限には "濃度" に違いがありますよね？
ビリオンズ
ここでの∞はすべて自然数として扱って欲しかったんですが
説明不足ですいません。
度々すみません。
無限が不思議と言うか点が不思議です。 位置情報しかもたないが為に、 有限な領域に無限に存在できるってことですよね？ （現実的なイメージとしては、無限は無限の中に存在できて、 有限の中には存在できないって考えてしまうと思うので・・・）
ビリオンズ
そういうことです
例えば０～１という有限な範囲にも無限の実数が存在しますよね。そんな感じです。 うまく説明できなくて申し訳ないです
↑↑
（訂正）何を言いたいのか分かりました 「∞個に∞個足しても同じ∞個だ」というような感じでしょうか？ …あれ、やっぱりなんか違う気もしてきた… 「自然数」として扱ってほしい、というのはどういうことでしょうか？
ビリオンズ
私の言いたいことは(訂正)の部分で合ってますよ
↑とすると、やはりNo.25の「有理数＋無理数＝実数」のように誤解を招く恐れがあると思います。
No.25のところで言いたかったのは結局、「有理数」の無限個と「実数」の無限個の濃度の違いがあるから、安易に∞個＋∞個＝∞個とは書けない、という意味です。
ビリオンズ
式としたほうが分かりやすいと思って使ったのですが、そこまで言われたら訂正せざるを得ませんね、訂正しておきます。
というよりそこまで考える人がいるとは思いませんでした これでどうですかね？ いや待てよ、自然数と定義すれば式化できますね
↑有理数全体∞個に無理数全体∞個加えたら、有理数全体∞個とは濃度は変わりますよね
個数と言っているのでどちらも（自然数無限大）個です。 確かに「∞個に∞個加えて∞個」、なんですけど∞個の種類が違うこともあるよ、ということです。 あくまで同じ濃度の∞個の場合の話だと思いますので、今回の場合は実数と同じ濃度同士を足した場合なのでいいと思うのですが、実際は違う場合もあるのでは？
今回、自分がしたことはここにおいて許されない、故にあなたと皆様に謝罪しましたし
今後書き込むつもりもありませんでした。が、自分のコメントの中で謝罪の意ともう１点 自分の本意が存在する。これだけは理解してもらいたい。時間を取らせて申し訳ないが。 それは、「間違いと証明できないなら間違いというべきではない」ということ １＋２＝５は間違い。しかし、「線ＡＢに対して、線上外の点Ｐを通り平行な線は いくらでも引ける」が常識的かは除いて、間違いと証明できますか。 自分はこれに近いものになるよう、かつ、わかりにくいよう例を作った この例は妥当でも、わかりやすくもないが、関係性の考え方の定義によっては成り立つ。 ならば、それが間違いだと言う者は、間違いであることを証明しなければならない １ｍ＋５ｋｇ云々ではなく、「不死人間は無限の命（長さ的に無数の時間）をもっている」等を 否定しなければならないということ。これは両者無関係であれば無意味だが 不死人間は命がなければ定義が変わる（線が点を失えば単なる範囲になるよう） 構成関係がある以上、無関係ではない。そして、１ｍ＋５ｋｇのような意味不明な 定義もない。単に平面軸と平面軸の関係が３次元軸と時間軸の関係になっているだけ それぞれ正しい定義で運用されている。 あなたが間違いだというのならそれを証明するべき、できないならばあなたがとるべき 対応は「間違い」ではなく「わかりずらい」「直観的でない」等しかないことを認識すべき そして、自分の本意は、自分の例の正誤に無関係であることを知るべき 個人的な意見を言えば、長文の質問や常識外の答えがいらないなら数学サロンに でも行くべき、上はやり過ぎでも、証明できないなら行為自体は正当なものになる そこには常識的で高いレベルがあり、こんな意味不明な答も存在しないはず 煽られても釣られても、あなたが正しければ、まるで問題ない。 ここで自分に批判を言う権利はない。が、言ってはいけないという義務もない。しかし あなたには「間違い」だという権利が、それを「証明」する義務が生じることを認識すべき 広い視野や柔軟性、証明する力がないなら人に「間違い」等というべきではない 自分のコメントに対する云々は意味がないのは１行目でわかるはず、あんな詭弁を 長々話す奴はいない。故に、このコメントにレスは不要。が証明した後なら自分のこと をどう言おうがかまわないし、クイズ大陸から消えろというのなら消える。それはしたことを 考えればあなたの当然の権利。あなたがこのコメントを見て意味があるのは、無視する、 証明する、だけ。このコメントはあなたが邪魔だと思うなら消せばいい。 邪魔だから、もうスレには来ません。証明して消えてほしいのなら、「ひとこと」で俺を呼べばいい。 あなたがどうしようが勝手だが、それは証明した後でも遅くない。ただ、本意は証明するしない に関係ないことを理解してほしいですが。後、質問、文句等あれば上記のようにしてください。 スレに来ますから。
以下の内容部分について、第三者ですが少しだけコメントします。 ＞「線ＡＢに対して、線上外の点Ｐを通り平行な線はいくらでも引ける」 ＞が常識的かは除いて、間違いと証明できますか （追記：何か僕が間違った解釈をしたように思います。これは前のマキチャンさんや、メガネ好きさんへのコメントだと思ってください） 参考URL http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) （リンクがうまくできないです  …URLバーにコピペしてください）ここでいうところの「個数が同じ」という言葉は、数学的用語を用いるのであれば「濃度が同じ」という風に考えるべきであると思います（または、出題者がそう意図としていると思われる）。 ただ「濃度」という言葉を使うよりも、「個数が同じ」かどうかを聞いたほうが、出題意図が伝わりやすい、あるいは解答者も意図を汲み取りやすい、と思われますので、「個数が同じか？」という問い方をしている場合が多いように思います。 平行線を使った場合は、「線ABの点の数 ＜ 線CDの点の数」でしたが、逆に短いはずの線ABの方が、長い方の線CDよりも「点の数が多い」というような説明もできてしまうのです。 ですから、上で挙げた参考URLでも 「集合 A から集合 B への全単射があるとき、A と B は濃度が等しいと言われる」 と書いているように、"同数" といえるような証明が "ひとつでもあれば" 濃度として同じ無限、といえるのです。
答えは解き方によって①にも②にも③にもなります。
例 CD上の点をMとする（C、Dは含まない）。CMとABにおいて（答え）と同様に考えて点の数は同じ。MDとABにおいてもおなじである。よってCDの点の数はABの二倍である。 このような問題として「ベルトランの逆理」があります。 |
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