（１）２
（２）解なし

１、xに１を代入すると
３＋４＝５　成立しない　・・・�@
　xに２を代入すると
９＋１６＝２５　成立する・・・�A
x≧３のとき
フェルマーの定理が成立するので
（xのｎ乗＋ｙのｎ乗＝ｚのｎ乗
　ｎ≧３のとき　ｘｙｚのような数は存在　しない）・・・�B
�@�A�Bから　解は２のみとなる

底について0<a<bの大小関係があるなら、x>0のときa^x<b^xの大小関係に。
逆にx<0ならa^x>b^xになる。
この関係を使う。

3^x+4^x=5^x
x=2が解なのは簡単に確認できる。
したがってそれ以外について考える。
x=y+2とおく。
x>2のときy>0である。
3^x+4^x
=3^(y+2)+4^(y+2)
=9*3^y+16*4^y
<9*5^y+16*5^y
=25*5^y
=5^(2+y)
=5^x

逆にx<2のとき
3^x+4^x
=3^(y+2)+4^(y+2)
=9*3^y+16*4^y
>9*5^y+16*5^y
=25*5^y
=5^(2+y)
=5^x

したがって
x>2なら3^x+4^x<5^x
x<2なら3^x+4^x>5^x
となる。
ゆえに "実数" xについて、等号が成立するのはx=2のとき、ただそのときに限る。

答え：x=2のみ。

1.整数解は x=2 のみ
フェルマー・ワイルズの定理より、x>2 では解はない。
また、x<-2 でも解がない。
残った整数に対して直接計算すると、
x=2 の時は成り立つが、他の場合は成り立たない。
よって整数解は x=2 のみ。

(2)整数も実数のうちという事から、
結局（２）も(1)と同じ「２」ですね。
証明としては有名どころとして、ピタゴラスの定理が利用できるかと。

2.実数解は x=2 のみ
証明
xが有限であれば 5^x>0
（x→-∞ のときは成り立たないが∞は数ではないので無視する。なお、x→-∞ のときは直接の計算で 3^x+4^x=5^x を満たすことが分かる。）
f(x)=(3^x+4^x)/5^x とすると、もとの方程式は f(x)=1 となる。
f'(x)=log(3/5)*3^x+log(4/5)*4^x だが、
log(3/5),log(4/5)<0 3^x,4^x>0 より f(x)は単調減少。
よって f(x)=1 の解は1つしかなく、1.で求めた x=2 のみが解となる。

・(2)が解ければ(1)は自動的に解けるので，(2)だけ解きます。「f(x)=5^x-3^x-4^x」とおきます。まず，f(2)=0なのでx=2は解の一つです。

・次に，x>2のときにf(x)<>0であることを証明します。x-2>0なので，
f(x)
=5^x-3^x-4^x
=(5²)*(5^x-2)-(3²)*(3^x-2)-(4²)*(4^x-2)
=(5²)*(5^x-2)-(3²)*(3^x-2)-(5²-3²)*(4^x-2)
=(5²)*(5^x-2-4^x-2)-(3²)*(3^x-2-4^x-2)
>(5²)*(4^x-2-4^x-2)-(3²)*(4^x-2-4^x-2)
=0
つまり，x>2であればf(x)>0となるのでf(x)<>0

・最後に，x>2のときにf(x)<>0であることを証明します。x-2<0なので，
f(x)
=(5²)*(5^x-2-4^x-2)-(3²)*(3^x-2-4^x-2)
<(5²)*(5^x-2-5^x-2)-(3²)*(3^x-2-3^x-2)
=0
つまり，x<2であればf(x)<0となるのでf(x)<>0

QED