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完全平方数

難易度：★★★★ 　

ケンスー 2009/04/11 21:16

　今回は前より簡単だと思います。

任意の自然数 m,n に対して、3m²＋5n² は平方数にはなり得ないことを示してください。




	【(解)（与式）=a^2とする。nが3の倍数でないとするとa^2は平方数になりえない。よってn、aは3の倍数。n=3n´,a=3a´として代入し整理するとmも3の倍数であることがわかる。m=3m´を代入すると3m´^2+5n´^2=a´^2となる。この操作を続けることでm,nを無限に小さくすることが出来る。このようなm,nは存在しないので与式は平方数になりえない。】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

ヒミツ

wowka 2009/04/12 03:31

こんなところで、お願いします (^^;)

(^^;)

ケンスー僕の理解力不足でしょうか・・・。どこが矛盾しているかわかりません (;o;)

(;o;)

もう少し詳しくお願いします。

▲ △ ▽ ▼ No.2

ヒミツ

偽・偽アリス 2009/04/12 18:28

こんな感じ

(^^;)

ケンスーなぜ③が成り立てば分数になるのですか？

▲ △ ▽ ▼ No.3

ヒミツ

fyh 2009/04/12 19:03

もしmとnが1より大きい公約数dを持つ場合、
m=ad,n=bd とすれば 3m²＋5n²=d²(3a²+5b²)となりdを無視できるため、
mとnは互いに素と仮定してよい。

以下ささやき参照。

ケンスー mとnは互いに素・・・ (○。○)

(○。○)

その考えはありませんでした。でも、本解もほぼ同じやり方です (^o^)

(^o^)

▲ △ ▽ ▼ No.4

ヒミツ

ボムボム 2009/04/12 19:34

↑fyhさんのコメント部分を拝借させて頂きまして、以下囁きに (^^)

(^^)

ケンスー実はもっとスマートな解があるのです (^o^)

(^o^)

▲ △ ▽ ▼ No.5

84が平方数でないから

メガネ好き 2009/04/14 18:06

どうでしょうか？

ケンスー 84・・・というのは何でしょうか？

▲ △ ▽ ▼ No.6

ケンスー 2009/04/18 18:49

ロックします。

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