算数/数学クイズ答え
Q4の答え
625:144
正解者
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yoshiさん
kaitoさん
翔さん
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kimitoさん
oguchan1さん
クロさん
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解説
＝＝＝＝＝出題者より＝＝＝＝＝
A = 625 : 144
1) 三平方の定理により、辺ACの長さは5cm
2) 三角形ABCの面積は6cm2
3) 辺BDの長さは2.4cm
4) 三平方の定理により、辺DCの長さは1.8cm
また、辺ADの長さは3.2cm
5) 角ABDと角CBD、辺ABと辺BC、辺BDと辺DCの比が全て
等しいので、三角形ABDと三角形BCDは相似
6) 角DBEと角CDE、辺BDと辺CD、辺BEと辺DEの比が全て
等しいので、三角形BDEと三角形DCEも相似
7) 三角形ABCと三角形BCDの面積比は25:9
8) 三角形BCDと三角形BDEの相似比は25:16、面積比は25^2:16^2
◆yoshiさんの解答
今中３で相似を習い終わって三平方の定理習ってるとこだったんで「もしかしたらできるかも」と思って解きました。
＜解答＞
①三角形ABCと三角形ADBの相似を証明する。
△ABCと△ADBにおいて
∠ABC＝∠ADB＝９０゜ （仮定） ・・・（１）
∠BAC＝∠DAB （共通） ・・・（２）
（１）、（２）より
２組の角がそれぞれ等しいから
△ABC∽△ADB
②三角形ABCと三角形DECの相似を証明する。
△ABCと△DECにおいて
∠ABC＝∠DEC＝９０゜ （仮定） ・・・（３）
∠ACB＝∠DCE （共通） ・・・（４）
（３）、（４）より
２組の角がそれぞれ等しいから
△ABC∽△DEC
③三角形ABCと三角形BDEの相似を証明する。
△ABCと△BEDにおいて（対応を揃えるため）
∠ABC＝∠BED＝９０゜ （仮定） ・・・（５）
∠ACB＝１８０゜－（９０゜＋∠EDC） （②の証明より） ・・・（６）
∠BDE＝１８０゜－（９０゜＋∠EDC） （②の証明より） ・・・（７）
（６）、（７）より
∠ACB＝∠BDE ・・・（８）
（５）、（８）より
２組の角がそれぞれ等しいから
△ABC∽△BED
④三角形ADBと三角形BDEの相似を証明する。
△ABC∽△ADB、△ABC∽△BEDより（対応を揃えた）
△ADB∽△BED
⑤ACの長さを求める。
AB＝４ｃｍ、BC＝３ｃｍより
AC＝５ｃｍ
⑥三角形ADBの各辺の長さを求める。
△ABC∽△ADB、AC＝５ｃｍ、AB＝４ｃｍより
△ABCと△ADBの相似比は ５：４
よって
AB＝４ｃｍ、AD＝３．２ｃｍ、BD＝２．４ｃｍ
⑦三角形ABCと三角形BDEの相似比を求める。
AC＝５ｃｍ、BD＝２．４ｃｍより
AC：BD＝５：２．４
＝２５：１２
よって
△ABCと△BEDの相似比は（対応を揃えた）２５：１２
△ABCと△BEDの面積比は６２５：１４４
A．６２５：１４４
◆kimitoさんの解答
三平方の定理より
AC^2 = AB^2 + BC^2 = 16 + 9
AC = 5
△ABC ∽ △BCD なので
5:3 = 3:CD
CD = 9/5
3^2 = (9/5)^2 + BD^2
BD^2 = 9 - 81/25 = (225 - 81)/25 = 144/25
BD = 12/5
というわけで
△ABC:△BCD = 5:12/5 = 25:12なので
相似比 = 25:12
面積比 = 625:144
◆クロさんの解答
ＡＣ＝５センチ，ＡＢＣとＢＤＧは相似なので，ＤＣ＝９／５㎝。
ＤＥＧも相似なので，ＤＥ＝３６／２５㎝。
よって三角形ABCと三角形BDEの長さの比は２５：１２
三角形ABCと三角形BDEの面積の比は６２５：１４４ になると思います
参考
暇な時間は、かけがえのない財産である。 -- ソクラテス
問題作成者：ラティウスさん
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