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このクイズの参加者（8人）
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 幾何的１＝２？
難易度：★★
 ボムボム
2008/11/10 18:04
１＝２を証明しようとする奇妙な試み、よく見かけますよね
 それと似たような（？）証明を試みてみました。 （図形問題なので、ちょっと頭の中で想像していただく必要がありますが、よろしくお願いします  ）［証明］ 三角形ＡＢＣがあります。 角Ａの内角の二等分線を引き、辺ＢＣの垂直二等分線を引いて、交点をＤとします。 交点Ｄから辺ＡＢと辺ＡＣに垂線を下ろし、交点をＥ、Ｆとします。 点Ｄが角Ａの二等分線上の点なので、三角形ＡＥＤと三角形ＡＦＤは合同です。 したがってＡＥ＝ＡＦ（１）、ＤＥ＝ＤＦ。 また三角形ＢＤＥと三角形ＣＤＦについて、これら二つは直角三角形で、ＤＥ＝ＤＦです。 さらに点Ｄが辺ＢＣの垂直二等分線上の点でもあるので、ＢＤ＝ＣＤです。 したがって、直角三角形の合同条件を満たすので、三角形ＢＤＥと三角形ＣＤＦは合同です。 ゆえに、ＥＢ＝ＦＣ（２）。 点Ｅ、Ｆはそれぞれ辺ＡＢ、ＡＣ上の点であるから、ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ、ＡＣ＝ＡＦ＋ＦＣ（３）。 （１）（２）（３）よりＡＢ＝ＡＣ。 ゆえに三角形ＡＢＣは二等辺三角形。 同様にして、ＢＡ＝ＢＣも言えて、三角形ＡＢＣは正三角形である。 特に三角形ＡＢＣに条件はつけていないので、任意の三角形は正三角形である。 ［終］ ………あれ？ --------------- ちなみにＡＢ＝１、ＡＣ＝２であれば１＝２の証明になっちゃいますね  間違っている箇所の指摘だけでもＯＫですが、なぜそこが間違っているのかを別方向から説明 or 証明していただけるとより一層満足しちゃいます  もしかしたら１＝２並に有名かもしれないし、そうでないかもしれないし… 既出かもしれないし、そうでないかもしれないし…
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回答募集は終了しました。
ボムボム
お早いレス、ありがとうございます
  例えば平面図形なんかから証明できると思いますが、いかがでしょう？ 
ボムボム
囁きの内容だけでは、少し物足りないんです
点◯が◯◯◯の◯にない、と言うだけではまだ足りないんです おっとっと、やはりそうでしたか〜  まぁ、皆さんに知っていただくためにしばらくこのままということで
ボムボム
了解しました
確かに◯◯◯の◯では無いんですが、実際はもっと条件が厳しいんです。 ですので、やはり囁きの内容が欲しいところでした
ボムボム
はい、方向はあっております
というよりも、むしろ核心に気付いてらっしゃるのでは？ 証明はなくても構いませんので、問題文の "ここ" がおかしくって実際は "こうなる" と囁いていただけるとＯＫです
ヒミツ
「さくず」問題の解答作成お疲れ様でした。
図が使えないと大変ですよね。 それにもかかわらず、またしても作図問題なんですね〜 私はこのニセ証明を何度も見たことがありますが、一般的な知名度はどうなんでしょうね。 きっちりとした反証は考えたことがなかったのですが、取り組んでみたら結構大変でした。 
ボムボム
まさしく僕の考えていた証明と同じです
前半は僕が考えていた以上の詳しさです どうぞどうぞ感服メダルを あっちの方は結構疲れました  派生させすぎましたね…ハハハ… 一度解答を考えたら何かに残すべきですね〜 時間が経つと忘れちゃって大変でした
ボムボム
はーい、ＳＨＩＳＨＩ１君、どうしたのかなぁ〜？
…… ＳＨＩＳＨＩ１さん、お久しぶりでございます  要約するとまさに囁きの通り、それらが問題点ですね ちなみに一つ目のご指摘は、微妙に必要がないといえばないし、ないともいえなくもないような… おしいメダルをもらっている皆さんと同じで、それだけだったら実は不十分なんですよね〜
ボムボム
なるほどなるほど
こういうやり方もあるんですね 感服です やはり点◯が◯◯◯上にあるというところはポイントですね
ボムボム
そこでぶつかるのは正しい読みでございます
しかしその指摘だけではおしいメダルとなってしまいます そうなるからこそ…むしろそうなる上に、と言ったらいいのかな…どこがおかしいのか？を考えていただければ自ずと答えは見えてくるかと思います
レスがつかなくなってきたのでヒントです。
実際に分度器なり、コンパス・定規なりを使って作図してみれば一発ですよ 惜しいメダルの方々は、もう一歩踏み込んでみてください。 数学的に言えば「点◯が◯◯◯◯◯にない」は必要条件と言えばいいのかな。 「点◯が◯◯◯◯◯にない」で不十分ということは…？？？ 
ボムボム
下を確認しましたので、こちらはスルーの方向で
三角形ＢＤＥと三角形ＣＤＦは必ず合同になります。 これ自体は正しいですよ
ボムボム
あぁ〜、もう正解をあげてしまいたいぐらいの回答です。
惜しいんです、非常に惜しいんです もう少しご説明を加えてほしいです。特に最後のところとか…
近々解答を発表いたします。
惜しいメダルの方々、滑り込むならお早めに もう一つ大ヒントを… 上で伏せ字にしていたのを明らかにすると、 「点Ｄは三角形内部にはありません」ということですね これだけじゃ不十分だということなんです なぜなら 「外部にあっても点◯や点◯がともに◯◯◯上や◯◯◯上にあるようなこともあり得ます。」 ですので、指摘すべきは？？？
ではでは、解答発表を
上の議論は「一般の三角形→二等辺三角形」というロジックなので、二等辺三角形でない三角形に限定して考えていきます。 つまり、ＡＢ＞ＡＣ（逆でも入れ替えれば同じ）ということです。 上にも書きましたように、作図すれば簡単に分かりますが、点Ｄは三角形ＡＢＣの内部にはありません。ですが、これだけでは不十分です。 というのも、三角形の外部からでも、辺に垂線を下ろしたときに辺ＡＢや辺ＡＣ上に点Ｅや点Ｆが存在するのなら、同じ議論ができてしまうからです。 したがって解答して頂きたかったポイントは 「点Ｄから "直線" ＡＢや "直線" ＡＣに垂線を下ろしたときに、"辺上" に交点を持つのは必ず一方だけ」 ということです。 問題の議論ではここが崩れるので、その後の「ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ、ＡＣ＝ＡＦ＋ＦＣ」というところは、片方だけ符号が必ずマイナスでないといけなくなります（こちらの指摘でもＯＫとしました）。 例えばＡＢ＞ＡＣなら点Ｅは辺ＡＢ上ですが、点Ｆは辺ＡＣ上ではなく、"直線ＡＣ上"、しかも辺ＡＣの外に垂線を下ろせることになります。したがって正しくは「ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ、ＡＣ＝ＡＦーＦＣ」のように片方だけマイナスにしないといけません。 問題の議論はこれ以外は全て正しく、ＡＥ＝ＡＦ、ＤＥ＝ＤＦ、ＥＢ＝ＦＣ、これらはすべて成り立っています。 証明の三行目に "辺に垂線を下ろす" と書いているところが誤魔化しポイントでした。 ほんとは三角形外部の点Ｄから垂線を辺上に下ろしている図を付け加えて、より誤魔化したかったんですけどねぇ ＜なぜ必ず辺上と辺外に垂線が下ろせるか、なんですが…＞ 細かいことは省きますが、実は点Ｄは三角形ＡＢＣの外接円上にあることがわかります。 （円周角の定理を使ったりとかで証明できますので） ＡＤは直径ではなく、ＡＢ＞ＡＣ の場合なら 角ＡＢＤ ＜ 角ＡＣＤ です。 四角形ＡＢＤＣは円に内接するので、角ＡＢＤ ＋ 角ＡＣＤ ＝ １８０度 です。 ということは 角ＡＢＤ ＜ ９０度 ＜ 角ＡＣＤ なので、ＤからＡＢやＡＣに垂線を下ろすと、一方は辺上に、もう一方は辺外に交点ができるのです。 その他シムソンの定理を使った証明も可能なようです（fyhさん、ありがとうございます ）＜最後に私個人の感想ですが…＞ どこまで有名なのかは気になるところですが、"１＝２" にはさすがに劣るかなぁ 学校の先生に出題されたのを、友達と「あーだこーだ」言って議論していたのを覚えております。 PDJさんにご指摘いただきましたが、かつて図形掲示板というところで出題されたようです。（PDJさん、ありがとうございます ）今は見られないようですので、皆さんにも知って頂こうかと思い、ロックせずに解答募集を続けました。お付き合い・参加してくださった皆様、ありがとうございました しばらくは、感想募集機能を使ってみようかと思いますので、何かあればコメントお寄せください どれくらいの知名度があるかは少し気になりますねぇ〜 もしかしたら私の恩師はここに上陸しているのかも！？
苦手分野ですが出来心で挑戦しました。まだじっくり読んでないので、あとで解説をお勉強します。
脳には刺激を与えないとネ φ(.. )
ボムボム
コメントありがとうございます
記念すべき、感想募集機能後コメント第一号でございます そのご様子ですと、この問題は初見でしたでしょうか？ ある程度の知識も要するのであまり良問とは言えないでしょうが、結構有名問題かも…なんですよね やはり認知度は１＝２に比べて低そうですね〜
読みました。
＞ 三角形外部の点Ｄから垂線を辺上に下ろしている図を付け加えて、より誤魔化したかったんですけどねぇ まさに この図を自分で描いて「？」とハマッていました。きちんと作図するのは重要ですねぇ。 おっしゃるような知識はなかったので、ボムボムさんの意図とは違うレベルでですが楽しめました。
ボムボム
いえいえ、しっかりとハマって（？）いただけたのなら、出題者冥利に尽きるといいますか
楽しんで頂けたようでホッとしております
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