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このクイズの参加者（4人）
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 1億への道はいくつある？
難易度：★★
 キト
2008/01/01 23:34
これ、実は「タングース」さんの「1億を狙え！」を解きながら思いついた問題です。
http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=5408 <問題>---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1から9と×を1つずつ使い、なるべく1億に近づけてほしいのですが という問題だったのですが さて、数式（○×□）は何通りできるでしょうか？ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ※１×２３４５６７８９と２３４５６７８９×１は同じ式とみなします。 解答は囁きにて答えてください。できれば、計算手順（細かい式はけっこうですので考え方）も一緒にお答えください。 【蛇足】 これは、高校で順列・組合せを習った人が「一応」対象です。そういう人にとっては簡単だと思います。 ただ、ここの住人さんでしたら、習ってなくても解けるのでは、と期待しています。 （高校生以下の方、学年を教えていただけるとうれしいです。） 【さらに蛇足】 「黄色い井戸」から「キト」に名前変えました。(1/1 23:38)
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回答募集は終了しました。
キト
うまー棒さん、早速の連続チャレンジ、ありがとうございます。
No.1とNo.2まとめてお返事します。 この答え、どういう計算で出されたんでしょう？ぜひ知りたいです。 次に解答されるときは、考え方と計算式を一緒に教えてくださいね。 中１ですか。すごいなぁ。ぜひがんばって欲しいです。 うまー棒さん、他のまだ「順列・組合せ」を習っていない、という方へ ちょっと入門編、小手調べをやってみませんか？ たとえば、１，２，３，×で式を作ってみてください。１２×３とか。 いくつできるでしょう？全部作ってみて、同時にどうやったら計算で求められるかも考えてみてください。「こんなの簡単すぎ〜」と思われたら、１〜４と×、１〜５と×でもやってみてください。 やっていくうちに、なにか「きまり」「法則」みたいなのが見つかりませんでしょうか？もし、見つけられたらそれだけでも大きな収穫です。 引き続きがんばってください！
キト
違います。残念。でも、全然見当はずれ、というわけでもないので、ぜひ考えた内容を教えて欲しいですね。
これは、 「１〜９までの数字を使ってできる９桁の数字はいくつある」 という問題の答でしたら、そうなります。 １の位に入る数字は１〜９の９通り １０の位に入る数字は１〜９の９通り ： １００００００００の位に入る数字は１〜９の９通り ですので、９×９×９×９×９×９×９×９×９＝９９ というように、必ず式には意味があります。 たとえば上の問題を少し変えて 「１〜９までの数字を１回ずつ使ってできる９桁の数字はいくつある」 だったら、どういう式になるでしょうね。 ヒミツ
どうでしょうか？一応考えれるものを探しました
違ったんですか  …階乗かぁ。初耳です。累乗しか知らない・・・今日の0：00から実家行くのでその間に考えます… 
キト
すっごく、いい感じです
 確実に迫ってきてます。９×８×７×・・・×１は９！と書きます。「９の階乗」と読みます。これは高校で習うレベルですけどね。（覚えとくと、書く苦労が少し減ります、っていう程度ですけどね  ）それよりも、この計算方法を自分で考え出したのがすごい！です。（習ってないはずなのに．．．  ）囁きで出してくれた例と答は、３桁×６桁の場合ですよね。 でも、１桁×８桁っていうのも当然ありますよね。 あと、１歩ですよ  （ちょっとびっくり してます。正直言いまして．．．）
キト
下のはホント〜〜に「おしい！」です。（この間違いは誰でもしそうなところです。）
うまー棒さん、すでにNo.4でご自分でおっしゃってますよ。大事なことを。 関係ないけど、 orzの意味、さっき調べて、やっとわかりました。世の中どんどん進化してるんですね 
キト
カップヌードルさん、ありがとうございます。中１の挑戦にまたもびっくり
しかもいい線は行ってます。ただ、残念ながら違います。（ちなみにうまー棒さんのNo.4と同じ数字です。参考になるかも） １〜４までの場合をもう一度考えてみてください。 １２×３４とかもありますよね。で、それを書き出していってみてください。なるべく、整理して。 途中で面倒くさくなるはずです（いや、ならなかったらそれはそれでたいしたもんですが）。 そこで、また考えてみて下さい。もし、同じようなことの繰り返しなら、省略できるはず！ 今回の解答見せてもらった感じでは、そういう工夫がいつでもできる方とお見受けしました 考えるより、投稿する方が疲れましたか？（もしかして携帯からですか？） 一桁×八桁をa×bcdefghiとあらわすこととします。
a〜iに入る数の場合の数は、9個から9個選ぶ順列ですから、 9P9=9! これは、二桁×七桁,三桁×六桁…八桁×一桁の全てにおいて同様ですから、 9!×8 ただし、a×bcdefghiとbcdefghi×aが同じで、b×cdefghiaとcdefghia×bが同じように、一桁×八桁には八桁×一桁に、二桁×七桁には七桁×二桁に、全てそれぞれ同じ式があります。したがって、 9!×8/2=1451520 ∴1451520通り
合ってますでしょうか
あまり自信はないのですが・・・ ちなみに、私は一応中三です。 
キト
解答の文章そのものもよく整理されていて完璧。公開させていただきます！
正解！です。第１号おめでとうございます！ いゃ、何度も同じこというのはこっちも飽きてきましたけど、絶対、中学生が習ってるはずないんですよね。すごい！だって、あの記号まで使われるとは．．． 最後の「締め」のところが、うまー棒さんとカップヌードルさんがひっかかってるところです。（もう解けちゃってるのでは、と思ってはいるんですが） でも、習ってなくても、知ってなくても、「考えればわかる」、とは思ってたんで。こういうのが本当の「学力」だと、私は思ってます。 １４５１５２０
数字のなかで一番大きいかずを「Ｎ」として、他の数字をＡ Ｂ Ｃ…と続けます。 （Ｎ−１）×Ａ×Ｂ…と数字をかけていき すべての数字をかけたら2でわると この数字がでてきます。
中二です。こんな法則をかんがえました。
「１，２，３，×で式を作ってみてください。」でいろいろ考えているうちに できました。
キト
数字が１〜９でなく、１〜８、１〜７などでも対応できる解答です。スバラシイ！
公開させていただきます。 数字は正解！です、が．．．． おそらく、書き間違いかなんかだと思うのですが、 できたらもういっぺん囁いてもらえませんか？ ↑どうも、私の方の理解力不足だったようですね。すみません。 第２号の席は空けておきます、ので No.10の説明とあわせて、第２号です！
キト
お見事！正解！です。第３号です。
最後にちょっと落とし穴がひとつあったんですが、ひっかかりませんでしたね
キト
わかりましたよ
私最初Ｎの意味がわかってなくて、すみません。（Ｎ−１）はたぶん、「間」のことを考えたのですね。 そして、割ったのは、だぶっていることを考えてですね。 数字が１〜９でない場合のこともちゃんと考えられた解答は、初めてです。すごい！ 「応用がきく」「他の場合でも使える」というのはとても重要なことだと思います。 お見事！正解！です。No.8ですでに
うまー棒さん、見てくれてますでしょうか？
うまー棒さんは、解き方についてはすべてわかっておられるはずなんです。No.1〜No.5までで大事なことをすべて、囁いておられます。 特にNo.4の囁きの内容を見直してみてください。 頑張ってください！（もしかしたらもう解いちゃってるのかもしれませんが）
キト
No.5の下のが、ほんと〜におしかったのです。問題文の大事な部分をここにもう一度書きます。これ、ラストヒントかも
※１×２３４５６７８９と２３４５６７８９×１は同じ式とみなします。
キト
あれ？？？？？？？？
 No.4で第一ステージクリア、です。鍵となる式はわかってますよね？ No.5で第二ステージクリア、です。これの鍵もゲットされてますよね？ そして、第三ステージ脱出のためのキーを見事ゲットされたようなんですが．．． 第二ステージの段階でそのキーを使ってはいけません。 これで、わかります？ 頑張ってクリアしてくださいね
そろそろ、解答発表＆ロックしたいと思います。
まだ、考えておられる方がいらっしゃいましたら、2月11日(月)までにお願いします。 （できれば全員正解までたどりついてほしいな、と思っております）
解答発表します。うまー棒さん、最初からず〜っと頑張っていただいていたのに、残念です。
申し訳ないけど、時間切れです。 解答について少し詳しく解説します。 大事なポイントは３つですかね。 ３つのステージをクリアするため、３つのキーをゲットせよ！てな感じです。 ステージ１：１〜９までの９個の数字を順番にセットしろ！ ステージ２：間に「×」を入れて掛け算の式を作れ！ ステージ３：だぶってないか、ちゃんと確認しろ！ そして、クリアのための「キー」です。 キー１：まず、１から９までの数字を並べる場合の数。［９×８×・・・×１］ キー２：できた９桁の数字をふたつに区切る。（間に×を入れる） 入れる場所は９−１＝８箇所あります。［×８］ キー３：このままだと、たとえば１個と８個、８個と１個がだぶるので、 ２で割る。［÷２］ ということです。 あるいは、「９個の数字をふたつに分けるのは１−８、・・・４−５の４通り」と考えると、 キー２とキー３が一度に手に入ります。［×８÷２，×４］ カップヌードルさんは、こっちのキーを使われました。 キー１の計算方法ですが、 ９個ある席に９この数字をおいていきます。 １つめの席に入れる数字は９〜１までのどれかが入ります。２つ目の席には残りの８つの 数字のどれかが入り、・・・ということで、［９×８×・・・×１］となるのです。 ３個程度の数字で確かめてみるとよくわかると思います。 これは９！と書いたり、9P9と書いたりするんですが、これは高校で 習うはずです（私の知ってる公立学校では）。 ですので中学生は難しいかな、と思ってたんですが、みなさんさすがですね。 ところで、１〜８まで、とか１〜７まで、とか問題が変わっても解けますか？ 伝さんはＮという文字を使うことで、１〜９でない場合も解ける方法を考え出されました。 これにはこっちもびっくり でした。中学校に入ってから「文字式」というのを習ったと思うのですが、これをちゃんと使いこなせてますね。すごいです。 暇人さんと、伝さんの解答は公開させていただきます。
次に、解答と直接は関係ない話ですが。出題者の立場としての話。
この問題は、本来 「１〜９までの数字をひとつずつ使って、２つの数字を作るとき、何通りの作り方があるか」 という問題でもよかったと思います。 ただ、こういう問題文にしたのは、理由が２つありまして、 １つめは、実際に「1億を狙え！」というクイズを見て思いついたということ ２つめは、その問題の通りに９つの数と×を並べて式を作る、という考え方で計算すると、非常にすっきりした解き方ができるということを発見したからです。 ９つの数字を２組に分ける。次に、それぞれの組の数字を並び替える。 というやり方でもできますが、へたに組合せのＣなんてのを使おうとすると逆にややこしくなります。 確率や組合せの問題は、計算に入るより先に、問題の内容を理解し、整理する、という段階が非常に大切ですね。 そういうことを思いながらこの問題を作りました。 |
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