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４重の円の交わり

難易度：★ 　

鉄子◆AzcKwi2YOt6 2007/12/23 22:49

　　　　　　　　　　美しい図形で楽しめそうな
　　　　　　　　　　面積を求める問題を出してみました。
　　　　　　　　　　by　鉄子 (**)

　　　　　　　　　　　

４辺の長さがＲの正方形があります。
正方形の４つの角から半径Ｒの円をそれぞれ描きます。
４つの円の交わりの部分である赤で示した面積を、
Ｒとπ(パイ)を使って表すとどうなるでしょうか？
または、
赤で示した面積は正方形の面積の約何パーセントあたりますか？

参考
π(パイ)＝3.14…≒3.14
√3＝1.73…≒1.73

　　　　　　　　　　　　　Ｒとπ(パイ)を使って数式を表すと、
　　　　　　　　　　　　　表記が難しかったり、
　　　　　　　　　　　　　いろいろなバリエーションやら、
　　　　　　　　　　　　　かなりたいへんなので、
　　　　　　　　　　　　　どちらか一方回答してくださればよいです。
　　　　　　　　　　　　　もちろん両方回答も歓迎致します。

(0005365000.gif)




	【(1-√3+π/3)R^2 31.6% 解説 1辺Rの正方形－(半径R中心角90度の扇形－((半径R中心角60度の扇形)x2－(1辺Rの正三角形)))x4】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

(π/3+1-√3)R^2

吉近 2007/12/24 00:57

三角関数を使ってやたらややこしい求め方をしたので、囁きは答えだけ (;o;)

この問題のもっとスマートな解き方ってあるんでしょうか？

鉄子◆AzcKwi2YOt6 はやばやのご回答ありがとうございます。
回答は正解です。
数ある式の中からお答いただいた回答は、
私の表記した一例の回答と同じ、
(秘密)R^2形式でございました。
ただ括弧内の項の配置が私と異なっていて、
吉近様ご回答の括弧内の項、2番目、3番目、1番目
という順番で配置させました。
+1は分配するとR^2で正方形の面積を意味するので
始めに配置させました。
その次の項と項の順番はπを後に配置しただけです。
"^"の使用は迷いました。
(秘密)RxRとしようかとも考えましたが…。
結局"^"を使いました。

この手の問題は好き嫌いが出てしまう問題で、
解いていただける方が限られているので
参加者が０(ゼロ)の心配もしましたが安心しました。

ちなみに、三角定規の３辺比がわかれば、
sin、cos、tanは使わなくてもとけます。

▲ △ ▽ ▼ No.2

答
(1 - √3 + π/3)R^2
1-1.73+3.14/3≒0.3166≒31.7%
ところで、宣伝になってしまうのは本位ではない(実はお願い)ので囁きにて
http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=5368
を一度ごらんになっていただけませんでしょうか？
（面白くない、と思われたら無視していただいても結構ですが）

実は面白い問題ができた、とは思ったのですが、
解くのにわりとてこずり、出てきた答も確認はしたのですが、実は自信がありません。
鉄子さんや、上で解答されている吉近さん（その他数学得意系の方々）であれば、間違っていたらご指摘もいただけるのでは、と思いまして。
また問題の不備もチェックいただけるのでは、とずうずうしいことも考えております。
ですので、いちはやくお知らせできたらと思い、この場をお借りしたしだいです。

黄色い井戸 2007/12/24 04:08

こういうのになると、やっぱりキーボードすてて、鉛筆握って考えないと無理ですね。
ちょっとした下心、囁かせていただきました。

鉄子◆AzcKwi2YOt6 正解です。
ちなみに、
数式の表記の仕方は、
私とまるっきり同じです。
すべてのキャラクター全角半角配置マッタク同じです。
平たく言うと「コピー」「貼り付け」て感じです。
ここまで同じだとびっくりします。
お誘いいただいた問題を仕事場で解きましたが、
細かい条件をメモらないで入ったので、
もう一度条件を満たうえで回答したいと思います。
でもかなり複雑な条件ですね！？

▲ △ ▽ ▼ No.3

1-√3+π/3

アト 2007/12/24 04:17

確かに、中学までの数学で解けるんですね。
昔、どこかで見たことがあるような気もしますが・・・。

それなりの過程を経て答えにたどり着きましたが、結果だけ見るともっと美しい
解き方がありそうに思えて仕方がありません。
あとは、計算間違いしていないことを願うのみですね。 (^^;)

鉄子◆AzcKwi2YOt6 ≫赤で示した面積は正方形の面積の約何パーセントあたりますか？

↑の回答の方で答えられたのでしょうかね。
パーセント表示ではなく、
小数表示の方で回答されたのでしょうか。
それならば「正解」ですね。

面積を回答されたのであれば、
「おしい」になり、正解ではありません。

この意味ありげなコメントの意味はなに？
もう一度計算するとわかるかも！？

とりあえず「おしい」にしておきます。

▲ △ ▽ ▼ No.4

(1-√3+π/3)R^2

アト 2007/12/25 11:02

素直に面積を回答したつもりだったのですが・・ (○。○)

・・ひょっとしてこういうことでしょうか？ (+_+)

中学・高校時代、数学は得意だったのですが、つまらないミスが多くて先生によくオッチョコチョイ！！と怒られていたのを何となく思い出しました。
・・・大学受験でも約分を忘れたりしてましたし・・・

鉄子◆AzcKwi2YOt6 正解です。
それで正しいです。

No.3をお読みになられる後続の方々が、
誤解を受けますので、
No.3は「おしい」にしておきますね！

No.3の苦しいコメント笑っていただけましたでしょうか！？ (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.5

60°の扇形から正三角形を引いて、それを30°の扇形から引いて、それが4つ分だからＲ^2（1－√3＋π/3）となる.
（ハァハァ疲れた）
で、答えは31.66...㌫

KID 2007/12/25 11:21

若干アトさんと違うような...

鉄子◆AzcKwi2YOt6 両方回答していただきましてありがとうございます。
正解です。
解説は簡略ながらもすぐに理解できる考え抜かれた内容でした。

≫若干アトさんと違うような...
No.3コメント読まれたようですね。

KID様が回答された面積式回答のカッコ内の式が、
パーセント回答を小数表示させた値に等しい。
それをアト様が答えたなら、おしい≒正解！？
でも真相はアト様の計算ミスだった様です。

▲ △ ▽ ▼ No.6

(1-√3+1/3π)R^2

解き方
１.一つの頂点からの扇形と正方形の面積の差(4-π)R^2
２．一つの頂点からの扇形と隣の頂点からの扇形の双方ともに含まれない正方形の部分の面積：
一つの頂点をＡ、扇形の交わる点をＢ、Ｂから最も近い正方形の辺に垂線を下ろした交点をＣ、最も遠い辺に下ろした垂線をＤ、Ｃに近い頂点Ａに隣り合う頂点をＥとする。
対象となる面積は、ＥＢＣの２倍の面積。ＥＡＢは正方形の半分の面積(1/2R^2)から扇形ＡＥＢの面積(1/12πR^2)および三角形ＡＢＤの面積(√3/8R^2)である。
３．１で求めた答えを４倍したものから、２で求めた答えの４倍を引いたもの((√3-1/3π)R^2)が、求める部分以外の部分の面積。
４.正方形の面積(R^2)から、３の答えを引いたものが、求める部分の面積。

QQQQQ 2007/12/25 14:44

あってると良いな。計算間違えしていないと良いな。
でも、図形を使わずに説明するのは難しいです。

鉄子様
計算は間違えていなかったようですが、表記を間違えてしまっていたようです。修正ありがとうございます。表現が拙いため、間違いを訂正するにも手間をかけてしまったと思います。お手数をおかけしてしまい済みません。今後は気を付けます。
また、新たな図形をアップしていただきありがとうございます。

私は、鉄子様の解法の図形の意味をまだ理解できないでいます。もう少し問題を楽しませていただきます。

基本的に図形問題は好きなのですが、解法の技量があり、回答できない場合も多いのですが、引き続きよろしくお願いいたします。

鉄子◆AzcKwi2YOt6 QQQQQ様正解でございます。

≫２．～２倍の面積。ＥＡＢは正～

(誤)ＥＡＢ⇒(正)ＥＢＣ

解説の方も細かく記載いただいてありがとう御座います。
作図に記号を付けなかったので、
文書表現は、かなりてこずってしまわれたでしょう。
いろいろな考え方があるんだな～て思いました。
ここに回答された算数系の方々は、
回答よりも解説の方に興味があると思いますので、

QQQQQ様の回答された方法を、
説明するのに適した図形をアップしました。

QQQQQ様の解き方
１つの紫とその両隣の灰の面積を求めておく…①
１つの灰の面積を求めておく…②
（※１つの灰を線対称に２等分して、
　　まず灰の半分の面積を求め導く。）
①と②から１つの紫の面積を導く…③
正方形から③の紫の面積４個と②の灰の面積４個を引く。

▲ △ ▽ ▼ No.7

鉄子 2007/12/26 00:24

QQQQQ様の回答された方法を、
説明するのに適した図形アップしました。
http://quiz-tairiku.com/gazou/upl1/1198417402-2.gif

それと、私、鉄子の回答を説明するのに適した図形。
を、アップしておきます。オリンピック色で…。
中盤は異なりますが最終的にKID様もこの様な考えです。
http://quiz-tairiku.com/gazou/upl1/1198417402-3.gif
ヒントになってしまうかもしれませんが、
常連さんの算数系の方々回答済みなので…。 (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.8

黄色い井戸 2007/12/26 00:34

QQQQQさんの灰色部分の求め方はいいですね（想像ですけど、たぶんああしてこうしたのかな、と）。恥ずかしながら私は「眼から鱗」でした。
そこの扇形に注目するのか。なーるほど、です。

この問題、何度か解いたことあるんですが、そのたびに何か「無駄な部分が多いな」と思っていたのです。

それに、こういう画像の使い方もいいですね。
これの小学生用の（２重円の）問題だと葉っぱの部分、とか、いろいろ呼び方に苦労するんですよね。
正解のあと、ウェブで調べてみましたら（たぶん中学の先生？）「チーズケーキの部分」とか、いろいろ工夫（苦労）されてましたねぇ。（1198417402-3.gifの黒、赤、緑、黄の部分）

出題時に図形の各部分に①、②．．．って番号ふっておくとかはどうでしょうか？

鉄子◆AzcKwi2YOt6 ここに参加している皆様みたいに、
あの問題、参加する人限られている感じですよね。
「きゃ」「じょ」「ぴゅ」等から場合わけすることのが、
道筋ではないかと考えております。
かなりてこずる問題です。
それが快感です。 (**)

▲ △ ▽ ▼ No.9

アト 2007/12/26 22:28

なるほど、いろいろな解き方があるのですね。 (○。○)

私はまた別の解き方で解いていました。
今もう一度考えてみると、自分の解き方ももっと簡略化できることに気づいたり・・・。 (^^;)

このような問題は他の方の解き方を見るのも一つの楽しみですね。 (^^)

鉄子◆AzcKwi2YOt6 他の人の導き方は、気になりますすね。
違う導き方、ひらめき方を、新しく知ったとき、
自分の考え方にさらなる発展を生じさせますよね！ (**)

同じように、
アト様の導き方も知りたがっていると思いますよ。
（私を含めて…）

後に囁き公開致しますので、
楽しみにしてください。

今のところKID様の導き方が１番スマートな感じがします。
文章表現も簡略しているが要点がズバットしてます。
「ズバット２乗、ズバット解決」
こういう表現の仕方もありだなぁ～て、
勉強になっちゃーいました。 (**)

▲ △ ▽ ▼ No.10

アト 2007/12/27 00:55

実は私も解き方を書こうとしたのですが、説明しきれなくなって断念してしまったのです。 (+_+)

ということで、今回は図入りで説明を。 (^^;)

一応、白文字にしておきます。
　 曲線は描ききれないので表現していませんが・・。Ａ＿＿＿＿Ｂ＿＿＿＿Ｃ　|　　　　|　　　　| 　|　　　　|　　　　| Ｈ|＿＿＿Ｏ|＿＿Ｘ＿|Ｄ　|　　　　|　　　　| 　|　　　Ｙ|　　　　| Ｇ|＿＿＿＿|＿＿＿＿|Ｅ　　　　　Ｆ
図のように、正方形を4等分し、Ａを中心とした4分の1円と線分ＨＤ、線分ＢＦの交点をＸ，Ｙとして、
扇形ＡＸＹ－△ＡＯＹ－△ＡＯＸ
から求める、というような感じですね。
図を書きながら考えていただければすぐにお分かりいただけるとは思うのですが。

囁き公開を楽しみにしております。 (^^)

鉄子◆AzcKwi2YOt6 おもしろいヒラメキですね。
他の皆様方もお喜びの事と思います。
アップありがとうございました。 (**)

▲ △ ▽ ▼ No.11

「半径Ｒ中心角60°の扇形の面積」と「一辺がＲの正三角形の面積」の差が
「弓形（円の弧とその両端を結ぶ弦で囲まれる図形）の面積」
この「弓形の面積」を「半径Ｒ中心角30°の扇形の面積」からひけば…
http://quiz-tairiku.com/gazou/upl1/1198417402-3.gif
この図の「黒いヘンな形の面積」に…（以下省略）

ＳＡＮ 2007/12/29 01:16

スミマセン。計算してません。 (^^;)

　　（「囁き」は既出の誰かと同じかなぁ？ (^^)

）

鉄子◆AzcKwi2YOt6 御回答ありがとうございます。
導き方は正解なんですが、
計算まだということで「おしい」としておきます。
囁きの説明内容道理の導き方で正解回答が出せます。
そこまでわかれば計算は興味ないかなぁ？ (;_;)

▲ △ ▽ ▼ No.12

π＝3.14<br>ルート３＝1.73<br>で計算すると<br>31.2％

ＺＲＫ３ 2008/01/09 14:45

この問題って中学・高校・大学　どのレベルですか？それともパズルの一種？

鉄子◆AzcKwi2YOt6 ご回答いただいたパセントの値は、近い値ですが正解ではありません。
πを3.14 、√3を1.73で計算すると別なあたいです。
どっかで計算間違いしているのでは？
考え方によっては中学生レベルの知識で解けます。
ひらめきが大事です。 (**)

▲ △ ▽ ▼ No.13

（１-√３+π/３）Ｒ＾２

たろう 2008/01/14 10:42

回答したのは面積ですが、どうでしょうか？私が勘違いしてなければ、三角定規の３辺の比と無理数の掛け算を知っていれば解けると思います。

鉄子◆AzcKwi2YOt6 正解です。おめでとうございます。
正三角形の角度と扇形の面積の求め方と正方形の面積の求め方がわかれば
この問題とけます。 (**)

▲ △ ▽ ▼ No.15

①r^2(3-3√3+π)/3
②100-100√3+100π/3 ％

visnu 2008/01/27 23:07

おもしろかったです。 (^_^)

結構悩みましたが・・・。 (^^;)

鉄子◆AzcKwi2YOt6 正解です。 (**)

面白かったですか。
楽しんでいただけて嬉しいです。

▲ △ ▽ ▼ No.16

(π/3+1-√3）R^2でいかがですか？

masuda43 2008/02/04 21:31

中1の子供にこの問題を出されました。
お母さんできるの？って。
合ってないと困るのですが…。

鉄子◆AzcKwi2YOt6 親の立場を守りましたね。正解です。
やり方によっては、中学生でも解けます。
中学生のお子様にもこの問題興味を持っていただいて嬉しいです。 (**)

▲ △ ▽ ▼ No.17

答えはno.3の答えにＲの２乗を掛けたものです。

コロコロ 2008/03/07 13:50

私も灰色の部分を求めて計算しました。
オリンピック色の面積を引いた方が、手間が少ないですね。

初めてで、式の入力の仕方がわかりませんので
答えがちゃんと式で表せずすいません。

囁くや解答が見たいのですが返信すれば見られるようになるのかと思い
参加させていただきました。
様々な解き方があるようなので楽しみにしています。

鉄子◆AzcKwi2YOt6 回答の導き方いろいろあります。
囁きを公開する予定ですのでお楽しみに。
ご回答正解です。 (**)

▲ △ ▽ ▼ No.18

S＝(1－√3＋π)／3×R＾2
よって、赤い部分は正方形の(1－√3＋π)／3％

たく 2008/03/08 15:32

解法のヒント

中心Oとして、左下から時計回りにA、B、C、Dとする。
Oと各辺の中点を結ぶことにより赤の部分を4等分する。
Aを中心として、半径rの単位円を考える。動径はADまたはAB。
扇形から余分な三角形を引くと・・・

三角関数を使って解けますよ。
補助線をふんだんに使って。。

鉄子◆AzcKwi2YOt6 回答の括弧の位置が違っています。
記入間違えの可能性があるかもしれません。 (;^-^;)

▲ △ ▽ ▼ No.19

３０くらい

億派ピー 2008/03/18 09:41

ふひゅぐ

鉄子◆AzcKwi2YOt6 よい感してますね。 (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.20

３０くらい

億派ピー 2008/03/18 09:42

ふひゅぐ

鉄子◆AzcKwi2YOt6 よい感してますね。 (^_-)

▲ △ ▽ ▼ No.21

neri 2008/03/23 21:23

求める面積は　正方形から周囲の面積を引いて求める．周囲の面積は　合同な４つの変形扇形に分けることができる．この扇形の面積は，半径ｒの円の面積をSとすると，S/4－（S/6＋S/6－√3/4r･ｒ）＝（3√3－π）r･r/12となる．よって　もとめる面積は正方形から扇形４つを引くので　（３－３√３＋π）r･r/３　　　でしょうか．

鉄子◆AzcKwi2YOt6 正解です。 (**)