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６桁×７桁＝１２桁
難易度：★★★★★ 　
?大雑把自己中 2007/08/23 22:20
前の問題を踏まえて、
６桁×７桁＝１２桁となる掛け算のうち
答えが最大になるものは何通りあるでしょう？

理論的に解けますが
力技のほうが簡単だったりします。 (^^;)

星５つは、理論的に解いた場合の難易度です。

（皆さんの答えを見ていくうちに
私も１つ見落としていることに気が付きました (;_;)反省）

さらに、一つ多く数えていました。
結論としては、以前用意してた数と同じになりました。
ヒントヒント【１２桁の最大の数を分解してみましょう。】
ヒントヒント【分解された数を２グループに分けて見ましょう。】
ヒントヒント【分解されたものの中で一番大きな数に注目すると…？】
Answer【３３通り。
ＳＨＩＳＨＩ１さんの解答も参照してください。

１２桁の最大の数は当然
９９９９９９９９９９９９ですね。
これを素因数分解すると
３×３×３×７×１１×１３×３７×１０１×９９０１になります。
（３７×３＝１１１、
７×１１×１３＝１００１、
１０１×９９０１＝１０００００１）

この素因数をかけて６桁になるグループと、
かけて７桁になるグループとに分けることを考えると、
全ての素因数は、どちらかのグループに属することになります。
ここで、最大の素数９９０１について考えると、
９９０１も当然どちらかのグループに属します。
そこで、９９０１にほかの素因数をかけて
６桁ないし７桁にする方法を考えます。
９９０１との積が６桁になる数で
最小になるのは１１（積は１０８９１１）
このとき、残りの素数の積は
９１８１８０９で７桁
９９０１との積が７桁になる数で
最大になるのは７×１３×１７＝１００１（積は９９１０９０１）
このとき、残りの素因数の積は
１００８９９で６桁
また、９９９９９９９９９９９９
を最大の６桁の数９９９９９９で割ると
１０００００１で７桁となります。
よって、
９９０１を含むグループの積が６桁のとき
もうひとつのグループは必ず７桁になり、
９９０１を含むグループの積が７桁のとき
もうひとつのグループは６桁になります。
同時に、９９０１にかけるものが１１～１００１のとき、解を満たすということもわかります。
よって、９９０１を除いた素因数の積で
１１～１００１になる組み合わせの数が、
解の数になります。

つまり、３，３、３，７，１１，１３，３７，１０１の８つのうちからの組み合わせのうち、
１１～１００１になるものの数が正解の組み合わせの数になります。

i)８個のうち１個とる組み合わせは
8C1-(3C1-1)=6
このうち、１１～１００１にならないものは
３，７の２つ

ii)８個のうち２個とる組み合わせは
8C2-5C1×(3C1-1)-(3C2-1)=16
このうち、１１～１００１にならないものは
９、１１１１、１３１３、３７３７の４つ

iii)８個のうち、３個取る組み合わせは
8C3-5C2×(3C1-1)-5C1×(3C2-1)-(3C3-1)=26
このうち、条件を満たさないものは
７、１１、１３、１７、１０１の５つのうちから３つを取る組み合わせから、１００１になる１つを除いたもの
5C3－1=9
と、２つの積で４桁となったもの（１１１１、１３１３、３７３７）と３の積の３つ
それに、１１１（３と３７の積）に２桁の数をかけたもの２つと７×１３×３７の合計１５個。

iv)８個のうち４個取る組み合わせは
8C4-5C3×(3C1-1)-5C2×(3C2-1)-5C1(3C3-1)=30
ここで、１０１を含むものは、
最低でも１０１×２７＝２７２７となるので、
１０１を含む
7C3-4C2(3C1-1)-4C1(3C2-1)-(3C3-1)=15個は不適
また、１０１を除くのこりの７個から４個取る組み合わせのうち２桁の掛け算を含むものは最低でも
３×３×１１×１３＝１２８７となるので、
3C3×(4C1-(3C1-1))+3C2×(4C2-(3C2-1)-(3C1-1))=8個は不適
また、３桁×２桁となる
１１１×２１＝２３３１（３×３７×３×７）も不適。
よって、２桁、３桁にならないものは
１５＋８＋１＝２４個

v)８個のうち５個以上取る組み合わせは
少なくとも
３×３×３×７×１１＝２０７９以上となり不適。

よって、２桁ないし３桁になる組み合わせの数はi)～v)より
６－２＋１６－４＋２６－１５＋３０－２４＝３３個

となります。】
正解画像ヒントが3つあるよ
■
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