多分８個かな。

大変遅れました 正解です。
できれば証明のほうもお願いしたいのですが、いいでしょうか。

ラティウスさん、オッケーです。

長方形が始め縦aメートル横bメートルだとすると、面積はabとなる。上下左右1mずつ拡張されるとその面積は(a+2)(b+2)となり、これがabの一割り増しならよい。
このことから成り立つ等式は

(11/10)*ab=(a+2)(b+2)

展開、整理すると

(a-20)(b-20)=440

となる。左辺に注目すると、a,bが自然数なので、a-20、b-20、は整数である。
つまり整数同士の積が４４０になるものの組合わせの数を数えればよい。
440=2^3*5*11に注目して
(a-20,b-20)=(1,440)(2,220)(4,110)(5,88)(8,55)(10,44)(11,40)(20,22)
つまり
(a,b)=(21,460)(42,240)(24,130)(25,108)(28,75)(30,64)(31,60)(40,42)
の８ケになる。
（９０度回転させて重なるものは同じ形）

と言う具合です。

いかがですか？

はい、正解です。
ちなみにグラフを書くと双曲線になりますね。
(高校の数IIIだったかな？）