私にはさっぱり分かりませんが、
「〜さん（君）」のアルファベットをこのまま続けていくとラティウスさんのお名前になるだろう、という事は必然だと思います。

でもこういう問題解けたら気持ち良いだろうなぁ・・・

(3)「1から始まる」立方数を足していくと平方数になるのは必然です。

(4)偶然です。

しばらく経ったら証明を示したいと思います。

(4)こういうのは反例があればよいので、

333333331/17=19607843

これが必然なら、「最大の素数をみつけた」なんていうニュースがなりたたないので、
偶然であるのはわかってましたが、反例はみつけにくかったです。

(3)の証明を頑張ってみます。
1^3+2^3 = 1+8 = 9 =3^2
1^3+2^3+3^3 = 1+8+27 = 36 = 6^2
1^3+2^3+3^3+4^3 = 1+8+27+64 = 100 = 10^2
より，

1^3+2^3+3^3+･･････+n^3＝(1+2+3+･･････+n)^2
ではないかと推察する。

1+2+3+･･････+n＝n(n+1)/2
より，
(1+2+3+･･････+n)^2＝n^2(n+1)^2/4

よって，
1^3+2^3+3^3+･･････+n^3＝n^2(n+1)^2/4
が示せればよい。

n=1の時，これは成り立つ。

n=kの時成り立つとすると
1^3+2^3+3^3+･･････+k^3＝k^2(k+1)^2/4
より，n=k+1の時は
1^3+2^3+3^3+･･････+k^3+(k+1)^3＝(k+1)^2(k+2)^2/4
＝(k^4+6k^3+13k^2+12k+4)/4
＝k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3
よって，成り立つ。

これにより，1^3+2^3+3^3+･･････+n^3＝n^2(n+1)^2/4が示された。

つまり，
1^3+2^3+3^3+･･････+n^3＝(1+2+3+･･････+n)^2
は必ず成り立つ（必然である）。


って感じ？　あってる？

(3)
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1

この式から
(n+1)^4-1^4=4Σk^3+6Σk^2+4Σk+Σ1
が導けます(Σはk=1からk=nまでの和)
(中略)
これを解くと

Σk^3=(n(n+1)/2)^2

という式になります。

はじめまして。ワンと申します。

(4)
うーん、偶然ってなんなんだろう・・・。
31,331,3331,33331までが全部素数であるのは偶然だと思うんですが・・・。
「偶然ってのは、その事象が起きる確率が存在すること」なのかな？
反例とは別のアプローチをしたかったけど、・・・。

ある数字が素数である確率って存在するんでしょうか?
帰納的に決まるかな？
問題を上手く言い換えたいんだけど、よくわからなくなってしまいました。

1)は必然です。風花さん、PDJさん、おみごと！

2)は偶然です。>>3を参照。