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正三角形に内接する正方形
難易度:★★  
?yard 2019/11/19 02:42
問題だけ思いついたときは難易度☆4くらいに思えたのに、いざ計算してみたら意外と程よい難易度。

正方形が正三角形に内接しています。
(1)正三角形の一辺の長さに対して正方形の一辺の長さが最小であるとき、
 正三角形と正方形の一辺の長さの比を求めてください。
(2)正三角形の一辺の長さに対して正方形の一辺の長さが最大であるとき、
 正三角形と正方形の一辺の長さの比を求めてください。


この問題の「内接」の定義と、配置の例を以下に示します。

定義 :
 ・正三角形のすべての辺上に、正方形の頂点が1つ以上ずつある
 ・正方形は、正三角形内に完全に収まっている (※追加条件 2019/11/19 3:00)

配置例 :
(0019502000.gif)
(正三角形の辺上に無い正方形の頂点が、1つまで存在してもよい)
Answer(1) √6+√2 : √3
(2) 2+√3 : √3


解説に用いる図 https://gyazo.com/5b8b1f4be3676dde9a2f8d5cdcca2892

図において、θの範囲を 30°≦θ≦60° とする。
(0°≦θ≦30°の場合 30°≦∠CGF≦60° であり、この角を基準に同様に考えられる。)
(60°≦θ≦90°の場合 30°≦∠AED≦60° であり、この角を基準に同様に考えられる。)

正方形の一辺の長さをxとすると、BC(正三角形の一辺)の長さは
正弦定理を用いて以下のように表せる。

BC
=BF + FC
=sin∠BEF * EF / sin∠EBF + sin∠FGC * FG / sin∠FCG
=sin(120°-θ) * x/sin60° + sin(30°+θ) * x/sin60°
=2x/√3 * ( sin(120°-θ) + sin(30°+θ) )   ・・・(A)

f(θ)= sin(120°-θ) + sin(30°+θ) とし、これを微分する。
f'(θ)= -cos(120°-θ) + cos(30°+θ)

(描画ソフトがwindowsのペイントしか無いので、グラフは略します)
増減表は以下の通り。
https://gyazo.com/8838c27cea2b19362c7ee24c11520786

θ=45°でf(θ)は最大となる。(A)式において 2/√3 > 0 であるから、この時BCの長さも最大になる。xに対して正三角形の一辺が最大であるため、元の問題では(1)に相当する。
この時のBCの長さは、
BC
=2x/√3 * ( sin(120°-45°) + sin(30°+45°) )
=4x/√3 * sin75°
=(√6+√2)x/√3
であり、正三角形と正方形の一辺の長さの比は
√6+√2 : √3
となる。

θの範囲より、θ=30°,60°でf(θ)、BCの長さは最小となる。こちらは元の問題の(2)に相当する。
この時のBCの長さは、
BC
=2x/√3 * ( sin90° + sin60°)
=(2+√3)x /√3
であり、一辺の長さの比は
2+√3 : √3
となる。
■
解答が公開されました。引き続きコメントできます。

このクイズのヒント

    ヒント知らないよ

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