答えは、(a,b,c)=(1,2,3)のみ。

tan(T(a))=1/a,tan(T(b))=1/b,tan(T(c))=1/cが成立する。
T(c)=90-(T(a)+T(b))なので、
tan(T(c))=1/(tan(T(a)+T(b))=(1-tan(T(a))tan(T(b)))/(tan(T(a))+tan(T(b)))=(ab-1)/(a+b)
よって、(ab-1)/(a+b)=1/cであり、abc=a+b+c
abc=a+b+c≦3cなので、ab≦3
これを満たすのは(a,b)=(1,1),(1,2),(1,3)しかない。
それぞれの場合をabc=a+b+cに代入すると、(a,b,c)=(1,2,3)が唯一の答えと分かる。

5つの正方形を並べ、とりあえずT(5)までの実際の大きさを図にしてみた。
https://gyazo.com/8a8f6a3cfc4c85952785592f9b8be7c2

T(2)が既に30°より小さいので、a=1。T(1)=45°
見た目では T(2)+T(3) か T(2)+T(4) くらいが45°だったので、
この辺の大きさを加法定理で調べてみる。

sin(T(2))=1/√5
cos(T(2))=2/√5
sin(T(3))=1/√10
cos(T(3))=3/√10
sin(T(4))=1/√17
cos(T(4))=4/√17

sin(T(2)+T(3))
=(1/√5)(3/√10)+(2/√5)(1/√10)
=3/5√2+2/5√2
=1/√2
T(2)+T(3)=45°（T(2)+T(3)は鋭角）

答えは分かってしまったけど、最初に言った T(2)+T(4) も一応計算。
sin(T(2)+T(4))
=(1/√5)(4/√17)+(2/√5)(1/√17)
=5/√85

答えの一つは、a=1,b=2,c=3
T(b)+T(c)が45°となる組み合わせはこの他考えられないため、答えは上の1通りのみ。


補足1
T(2)+T(3)=45°であることが、1つの図で簡単に分かってしまう事に後から気づく。
https://gyazo.com/fb1f46ac3f34ed6700155186c9344721

補足2
sin(T(2)-T(3))=1/5√2
√((5√2)^2-1)=7 より、x=7

T(2)*3<T(√3)*3=90ﾟ
これより、aに入りうる数は1のみ。
(中略)
答えの一つは、a=1,b=2,c=3
ここで、b=1とすると T(1)+T(1) が既に90ﾟのため不適。
b>2のときは、式の値が常に T(1)+T(2)+T(3) 未満のため不適。

条件を満たすのは(1,2,3)のみ
（念のため T(∞)=0 は除外する）

補題：t≧s なら T(t)≦T(s)

T(a)+T(b)+T(c)≦3T(a) より T(a)≧30
補題より a≦√3 なので a=1

b=1 のとき T(a)+T(b)=90 なので T(c)=0 よって c→∞

b=2 のとき（途中式省略）c=3 となり、これは条件を満たす。

上の結果から b=3 のとき c=2 となり、以下b>c となるのでこの先に条件を満たすものがない。
　

T(2)+T(3)=45度

座標平面に
直線l:y=x
点P:(3,1)
を取る。

Pからx軸に下した垂線の足をQ、lに下した垂線の足をRとする。Q(3,0) R(2,2)。
T(3)+T(2)=∠QOP+∠ROP=45度