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角角しい関係式
難易度:★★★★  
?プラスト 2019/03/11 01:34

∠B = 90°, AB/BC = x である △ABC の ∠A を T(x) で表す事にします。
例えば、T(1) = 45°, T(√3) = 30° が分かります。

このとき、T(a)+T(b)+T(c) = 90° かつ a ≦ b ≦ c を満たす正の整数の組 (a, b, c) を全て求めてください。

例によって、回答には思考過程も書いていただけると有り難いです。

AnswerT(a)+T(b)+T(c) = 90° ⇔ T(a)+T(b) = 90°-T(c) であり、
この両辺は0°より大きく90°より小さいので、tanで囲う事ができて、
tan(T(a)+T(b)) = tan(90°-T(c)) ----(1) が得られます。
ここで、題意から ∠A = T(x) ならば tan(T(x)) = BC/AB = 1/x である事に着目すると、
tan の加法定理を用いて、tan(T(a)+T(b))
= (tan(T(a))+tan(T(b)))/(1-tan(T(a))tan(T(b)))
= (1/a+1/b)/(1-1/(ab))
= (a+b)/(ab-1) ----(2)
一方、tan(90°-T(c))
= 1/tan(T(c))
= c ----(3)
(2), (3) を (1) に代入すると
(a+b)/(ab-1) = c ⇔ a+b+c = abc なので、
結局 a+b+c = abc (a ≦ b ≦ c) の正整数解を求める有名問題に帰着されます。
これを解くと、abc = a+b+c ≦ c+c+c = 3c
⇒ ab ≦ 3
⇒ a = 1
このとき、1+b+c=bc
⇔ (b-1)(c-1)=2
⇔ b = 2, c = 3

∴ (a, b, c) = (1, 2, 3)
■
解答が公開されました。引き続きコメントできます。

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    ヒント知らないよ

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