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玉が足らない抽選機
難易度:★★★★  
?たっくん4 2018/11/04 18:04
マーティンガードナーの古いパズル本を読んでいたところ、1〜9までの数を1:2:3:・・・・:9の比になる確率でランダムに 選ぶ必要のある設問がありました。 そこには「Aを一枚、2を二枚・・・9を9枚準備して、カード45枚を良く切って一枚抜く」という方法が記されていたのですが、9を9枚そろえるには同じトランプデックが3組必要じゃんと内心で激しくツッコミました。まぁJQを9に、Kを8に読み替える、予め指定したスーツ以外のA23は765に読み替える、とすれば、デック1組でもなんとかなるわけですが。余りエレガントではないですね (~。~)
 問題自体が、1〜Nまでいくらでも拡張できる問題だったので、1〜10だったらその時点でデック1組では収まらないなぁ、と、考えたのがきっかけその1。 
 私はガラガラ廻す抽選機が大好きなので(過去に何度か出題したことがあります)、これに55個の玉を入れる方が良さそうだな、でもアメリカにはあのガラガラ抽選機はあるのかな、とまで考えたのがきっかけその2。 合体した感じで、下記「玉が足らない場合の解決法」という問題を思いつきました。 実はここまでの記述は問題の本質に一切関係ありません。


問題: ガラガラ抽選機が一台あります。これを使って、1〜10までの結果(仮に1等〜10等としますが、特に上下の意味はありません)1:2:3:・・・:9:10の比になるような抽選を企画します。しかし、手元に玉が55個準備できません。55個の玉を用いずに、上記のような抽選をする方法を考えてください。

注1:「出てきた玉の内容(玉に記された情報)」以外の情報は一切使えないものとします。つまり、玉の出てくる先にルーレットを置いておく、というようなボケは認めません。 抽選終了時点で、受け皿にある玉を見ただけの第三者が、それが表す結果(何等であるか)を判断できる、という厳しい条件を加えておきます。
注2:1〜10までの結果が題意の比率で得られればOKで、それ以外の結果が出た場合に「ハズレ」あるいは「やり直し」とすることを可とします。
 
 5つ想定解を準備しています。それ以外にもいろんなアイディアがあると思います。個数だけではどう判定するのか不明ですので、玉にどんな数字を記して、どうやって等級を判定するか、までできればしっかり書いていただけると嬉しいです。
 私の想定解のひとつは判定方法も相当に簡単です。 判定方法が簡単である、玉の数が少ない、あるいは、ハズレ(やり直し)率が低い、ことをもって「良い解」とします。

想定解のジャンルは5部門。
「やり直し率最小部門(で、使用玉の数ができるだけ少ない)」
「単純に玉の数最少部門」
「回転数固定部門(で、使用玉の数ができるだけ少ない)」
「回転数の期待値最少部門」
「反則技部門(で、使用玉の数ができるだけ少ない)」
の5種です。玉を入れ替えるのは私としては反則技部門になってますが、禁止するものではありません 2018/11/05 16:00 追加


 ちなみに、かってに君はいません。
Answer<解答>
★「やり直し率最小部門」: 11個
★「回転数固定部門」: 8個
★「単純に玉の数最少部門」: 5個、条件によっては6個。
★「反則技部門」: 4個
★「回転数期待値最少部門」:  21198/19393 条件によっては 12/11 いずれも最初の玉は44個

以下に判定方法の例と、私の思考パターンを記しておきます。

等確率で55通り以上を表現できることが判り易い十分条件です。

★想定解「やり直し率最小部門」: 11個
 玉に0〜10までを記しておく。2回廻し、出てきた玉の数の小さい方の数字nをもって「n等」と判定する。判定が簡単。ハズレも出ない。その中で玉数最少。

★想定解「回転数固定部門」: 8個
 玉3個の組み合わせで56通りの結果が得られ、うち1通りはハズレ(やり直し)。ハズレ率 1/56。
振り分け例:、赤玉1個、青玉2個、白玉5個(赤字で2〜6と記す)を準備、3回廻す。 
白玉2・3・4・5・6 に小さく青字で壱,八,八,七,九と付しておく。
 ・白玉3個: 10等。
 ・白玉0個: ハズレ。
 他は、白玉のうちで数(アラビア数字)が最大の玉を捜す。
 ・赤玉があった場合: アラビア数字がそのまま等級。
 ・赤玉がない場合、玉に書かれた漢数字が等数。 

表現型が55通り無い場合。

★想定解「単純に玉の数最少部門」: 5個、条件によっては6個。
 途中で「回転数を追加するorここでストップ」を判断することを認めれば、最小5ないし6個で可能。
 回転追加の判定に際して、それまでに玉が出た順番を含めてよければ5個、玉が出た順番を情報として利用しないとしたら6個が最少解。

 ※6個の例: 赤玉1個、白玉5個(0〜4)を準備。 途中で赤玉が出ない限り、3回廻す。一回目あるいは二回目に赤玉が出たらそこでストップ。
 判定: 白玉(1〜4)には(五・七・七・八・直)と小さく記しておく。
  最初に赤(1通り、確率各1/6):10等 
  2回目に赤(全5通り、確率各1/30): 、白玉の小さい文字が等数。(5,7,8等、やり直し)
  3回目に赤(全10通り 確率各1/60): 2つの白玉のうち大きい方の数字が等数(1〜4等) 
  3回目まで赤なし(全10通り、確率各1/20): 
   七七=7等(1) 七八=8等(2) 五直=5等(1) 五七=6等(2) 八直/七直=9等(3)  五八=ハズレ(1)
  ハズレ率 5/60=1/12。
 ※5個の例: 白玉5個(1〜5)を準備。 まず2回廻す。玉が出てきた順番が数字の逆順であるか、合計が5である場合は2回で終了。
 それ以外は3回目を廻して、出た3つの玉が235あるいは145の場合のみ4回目を廻す。ここからは概ね乱数表。

★想定解「反則技部門」: 4個
 抽選中に玉を戻すことを可能とすれば、玉2個を6回廻すことで64通り表現できるのですが、これだと結果が「受け皿にある玉を見ただけの第三者が、それが表す結果(何等であるか)を判断できる」に該当しません。そこで、抽選とは別に、結果の記録を残すために、別に結果を表現する玉をおく、というアイディアが出てきます。 抽選で出た玉と、最後に残す玉を関連付けない、というのは反則っぽいですが、条件を満たしていると言い張ることは可能かもしれません。すると、4個が解になります。1248と記した玉が4個あれば、3回廻すことで64の表現型があって(それぞれ64分の1の確率)、得られた結果を4個の玉の和として1〜10等の情報として残すことができます。 玉を1〜4にしなかったのは、「ハズレ」も皿の上で表現したかったからです。 ハズレ率 9/64。

★回転数期待値最少部門: 44個、期待値は 21198/19393
 44個の玉で抽選をスタート、赤を4個、青・黄・黒を一個ずつ、その他を白玉(1-37)とする。
1回目:赤玉以外の玉が出たら、1等から10等までに (0,1,2,3,4,4,5,6,7,8)で分配。赤玉が出た場合は2回目へ。 
2回目:青玉以外の玉が出たら、赤一個(39*4)+赤2個(表現系は6個だが確率は倍。倍に数え12通り) 全168通りを、1等から10等までに (34,25,17,8,0,34,25,17,8,0)で分配。青玉が出た場合は3回目へ
3回目:黄玉以外の玉が出たら、全164通りを、1等から10等までに (16,33,8,25,0,16,33,8,25,0)で分配。黄玉が出た場合は3回目へ
4回目:黒玉以外の玉が出たら、全160通りを、1等から10等までに (32,24,16,8,0,32,24,16,8,0)で分配。黒玉が出た場合は3回目へ 
5回目:全160通りを、1等から10等までに (32,24,16,8,0,32,24,16,8,0)で分配。 最大5回で終了。
5回目(玉40個の時点)できれいに割り振ることができる。 

 最少である証明はしてませんが、55個未満のn個の玉でスタートして1回で決着を付けられない玉の割合が1/10を下回るのは 4/44 である44個の場合だけなので多分これで正しそう。最終的に決着を付けるまで5回必要な点が心配ですが、検算として、2回でハズレなく決着がつく中でもっとも有望そうなn=45の場合、期待値は 1*40/45+ 2*5*45= 12/11= 約1.111。大丈夫ではないかと。

 途中で玉を入れ替えて良ければ計算はもっと簡単で、 最初に44個、次に5の倍数個の玉を使えば必ず2回で解決させることができる。 期待値は 1*40/44+ 2*4/44 =約1.091
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