当たりと書いてある玉2個と何も書いてない玉9個を入れ、
当たり玉が出るまで回します。
受け皿に出る玉の数は1〜10。
この玉の個数を1等〜10等に対応させればよいです。

案１：1〜10の玉が入ったガラガラを用意、1回目の玉を戻した上で2回回す。
(合計値-1)等。
合計値が12以上の場合はやり直し。

案2：0と1の2つの玉が入ったガラガラを、6回回す。
6桁の2進数が出来るので、000000なら1等、000001or000010なら2等、000011〜000101なら3等……というふうに割り振る。
110111以上ならやり直し。

案3 0〜10の11個の玉が入ったガラガラを玉を戻さずに2回回す。(大きい数)等。

11個の玉にそれぞれ「0」「1」「2」…「10」と書いておく。
それらの玉を抽選機に入れて、途中で補充せずに玉が2個出るまで回す。
出た玉のうち、大きい方の数を抽選結果とする。

1234789の玉を数字個数だけ用意する、6の玉を10個用意する。合計44個

1回目で4が出た場合→5等
1回目で8が出た場合→10等

1回目でそれ以外が出た場合
2回目は12346789を数字個数だけ用意する。合計40個。出てきた数字が何等かを示す。

この方法を用いるメリット：3割ぐらいの確率で1発で決まる。

将棋盤みたいな升目に当たり番号があって、
玉は１Ａのように２回で座標を出す

玉１０個に１〜１０の数字を書いてく。
玉は数字の分だけ再利用可能。
つまり、１が出たら取り除く。
２が出たら1回は抽選機に戻し、２が2回出たら取り除く。

玉とは、調べたところによると、「球形またはそれに似た形のものの」ことなので55面のダイスを作る。で、それ一つだけ使えばいい。５５面のダイスは、まあ、丸いところとか作ればギリギリ作れないことはない(と思う)。当然第三者が見て何等なのかわかる。

玉２個の場合だと、
最初に１を引いたら、１は取り除きます。
次に残っているのは２のみなので２を引くと
２を引いたのは1回目なので、２を戻すと、抽選機の中は２のみになります。
3回目にひくと２を引くことになり、２を引いたのが2回目となるので２は取り除きます。
ここで玉がなくなるので抽選は終了となり、
１は2回、２は2回出現したことになります。

玉には、順に番号が振られているものとします。
まず、玉を５個入れて１回目を引く。

１　→　１または１０
２　→　２または９
３　→　３または８
４　→　４または７
５　→　５または６

と一旦場合分けをして、
１１個の玉を入れ直して、２回目を引く。

１回目に出た数以下だったら、前の方の番号、
１回目に出た数より大きかったら、後の方の番号、

たとえば、１回目が２だったら、
２回目に、
１、２だと、２
３以上なら、９
という意味。

これで、５５分の１から１０の確率で分配できます。

元原稿（テキストファイル）は残っていませんでしたが、
基本的に紙にペンで書いて考えたので、それを元に・・・

２個で勝負！

毎回玉を込め直す（えらい大変だ・・・）

玉には、０、１と番号が振ってあって、
二進数で考える。

但し、６ビットで６４が表せるので、
６回ガラガラってやって、
数字に応じて、
１以下　１
３以下　２
６以下　３
・・・
というように、等差数列の和、つまり、
階差数列が狙っている場合の数になるようにルールを決めれば、
確率の比については、問題なく分配できる。

ひとつ引っ掛かるのは、この方式だと、
０の場合と、５５を超えた場合に、やり直し、
というルールにせざるを得ないかと思うのですが、
理論的には無限に終わらない可能性もあるわけで、

後ろのお客さんが怒るかもしれません。
（というかそもそも、１回の抽選で何で６回もガラガラする必要があるんだ！
　って怒りそうですが）

１から１１の数字を振った玉を用意する。
２回ガラガラってやって、
ふたつの玉の数字の差で等級を判定する。

差が１　は１０等
差が２　は９等
・
・
差が１０　は１等

とすると、題意を満たす。

１〜８の数字を書いた玉を8個用意し、2回まわし、２桁の数にする。５６通りの数字ができるので、それを１〜１０等に割り振る。
（１つはハズレとなる）
玉は都度抽選機に戻す。

回転数の期待値最少部門だけを狙ってもういっちょ答えてみる。
想定解に出てそうだけど。
用意する玉：１０と書かれた球２個、５と書かれた球１個、あとは1〜4までと6〜9までをその数字分用意する。合計で43個になる。
(ダイスを使わなければ)一回で判定するのは不可能だが、最初に少し減らせば二回で判定はできる。方法として、まず初めに5が書かれた玉1個と、10が書かれた玉2個と任意の玉8個、合計11個を使って抽選。5なら5等、10なら10等が確定して抽選終了。それ以外のものが出た場合、用意した玉のうち、5と10以外のものすべて、合計40個を使って抽選。出た玉に書かれている番号がランク。これにより、最終的に残った玉だけでわかる。(数字がそのままランクとなる）回転数の期待値は3/55+2*52/55=107/55で107/55回

ライアーゲームっぽいことを言うと、そもそも出る玉が一つだけとは書いていないから、一度に2つ出せばいい。ちょうど、11個玉を使えば組み合わせで55通りできるし。だから、0〜10までの11個の玉を用意して、一度に2つ出してもらう。それで、その二つの中で大きいほうをランクとすればちょうど題意を満たす確率になる。

１から８の番号が振られた玉を用意する。
３回ガラガラする。
すると、（８・７・６）／（３・２・１）で、５６通りの組合せが作られる。
５５通りに当たりを割り振り、１通りはやり直しとする。
これで題意の確率分布を満たす方式が作れる。

具体的には、上記のように抽選を行い、玉の数字の合計を求めると、
下記のように分布するので、これを利用することを考える。
6 1
7 1
8 2
9 3
10 4
11 5
12 6
13 6
14 6
15 6
16 5
17 4
18 3
19 2
20 1
21 1

そこで、たとえば、
合計、当たりの順位（○等）の順で列挙すると、
20 1
19 2
18 3
17 4
16 5
15 6
(14 or 7) 7
(13 or 8) 8
(12 or 9) 9
(10 or 11 or 6) 10
と割り振ると、題意を満たす。
なお、この場合合計値が21になったら、やり直しになる。

やり直しになる確率が1/56と小さいので、それなりに実用的かと。

「判定方法簡単部門」
11個の玉に0-10の数を書いて抽選機に入れ2個取り出し，大きい方の数を等数にする．

「回転数の期待値最小部門」
54個の玉のうち1個を金色に，もう1個を銀色に塗る．
残り52個の玉のうち，3，4，5，6，7，8，9，10個にそれぞれ3，4，5，6，7，8，9，10等と銀色で書く．
3等の玉のうち1，2個にそれぞれ1，2等と金色で書き加える．
玉を全部抽選機に入れ回す．
1回目に金または銀の玉が出なければはずれ．
2回目に出た玉に1回目に出た玉の色で等数が書いてあればその等数で当たり．
期待値
1×52/54 + 2×2/54 = 28/27．

「回転数固定部門」「単純に玉の数最小部門」
A，Bを使ってできる長さが6の文字列64通りに，1等を1つ，2等を2つ，…，10等を10個，はずれを9つ割り当てる．
2個の玉にA，Bと書き，抽選機に入れては回し，文字を記録するというのを5回繰り返す．
6回目に入れる前に，次にA，Bが出た時にできる文字列に割り当てられている等数をそれぞれA，Bの玉に書き加える．

「やり直し率最小部門」「単純に玉の数最小部門」
半開区間[0, 1)を次のように割り当てる．
1等：[0, 1/55)，2等：[1/55, 3/55)，3等：[3/55, 6/55)，4等：[6/55, 10/55)，5等：[10/55, 15/55)，6等：[15/55, 21/55)，7等：[21/55, 28/55)，8等：[28/55, 36/55)，9等：[36/55, 45/55)，10等：[45/55, 1)．
2個の玉に0，1と書き，抽選機に入れては回し，文字を記録するというのを繰り返す．
2進小数0.（1回目の結果）（2回目の結果）（3回目の結果）...がいずれかの等数の区間に入ることが確定した時点で終了する．
次に0か1のいずれかが出れば終了になる場合，その玉に等数を書いておく．

「反則技部門」
先にルーレットで題意の比率になるように等数を決める．
1個の玉に結果を書き抽選機に入れ回す．

先ほどの「回転数固定部門」「単純に玉の数最小部門」「やり直し率最小部門」「単純に玉の数最小部門」の答えは，抽選終了時点で，第三者が「皿にある玉だけで判断」できるように（何等か書いてある）して，問題文に書いてある条件は全部満たすようにしていたのですが……
やっぱりだめ♡？

それはさておき，ここからは想定解を当てにいきたいと思います．

「やり直し率最小部門」は前回私が勝手に作った「判定方法簡単部門」の解でしょうか？

「回転数の期待値最少部門」
「あ--わ」の44個の文字を使ってできる同じ文字が出てこない文字列に等数を割り当てていきます．
44個の文字のうち0，1，2，3，4，4，5，6，7，8個をそれぞれ1--10等に割り当てます．
割り当てられなかった4つの文字で始まる長さ2の文字列172個のうち34，25，17，8，0，34，25，17，8，0個をそれぞれ1--10等に割り当てます．
その際，同じ組み合わせの文字列には同じ等数を割り当てます．
割り当てられなかった4つの長さ2の文字列で始まる長さ3の文字列168個のうち16，33，8，25，0，16，33，8，25，0個をそれぞれ1--10等に割り当てます．
その際，同じ組み合わせの文字列には同じ等数を割り当てます．
割り当てられなかった4つの長さ3の文字列で始まる長さ4の文字列164個のうち32，24，16，8，0，32，24，16，8，0個をそれぞれ1--10等に割り当てます．
その際，同じ組み合わせの文字列には同じ等数を割り当てます．
割り当てられなかった4つの長さ4の文字列で始まる長さ5の文字列160個のうち32，24，16，8，0，32，24，16，8，0個をそれぞれ1--10等に割り当てます．
その際，同じ組み合わせの文字列には同じ等数を割り当てます．
44個の玉に「あ--わ」の文字を書き，抽選機に入れ，割り当てられた文字列が出るまで回していきます．
同じ組み合わせの文字列には同じ等数が割り当てられているので順番に関係なく皿にある玉だけで等数が判断できます．
期待値は
1×40/44 + 2×168/(44×43) + 3×164/(44×43×42) + 4×160/(44×43×42×41) + 5×(44×43×42×41×40) = 21198/19393．
割り当てが難しいかと思ったのですが，意外とすんなりとできました．

「反則技部門」（当てにいっていません ）
抽選機内部に精密なパチンコのような仕掛けを作り，1個玉を入れれば題意の比率で玉に色付けされて出てくるようにする．

「単純に玉の数最少部門」
「あ--か」の6個の文字を使ってできる同じ文字が出てこない文字列に等数を割り当てていきます．
6個の文字のうち1個を10等に割り当てます．
割り当てられなかった5つの文字で始まる長さ2の文字列25個のうち0，1，1，2，2，3，3，4，4，0個をそれぞれ1--10等に割り当てます．
その際，同じ組み合わせの文字列には同じ等数を割り当てます．
割り当てられなかった5つの長さ2の文字列で始まる長さ3の文字列15個のうち2，0，2，0，2，0，2，0，2，0個をそれぞれ1--10等に，5個をはずれに割り当てます．
その際，同じ組み合わせの文字列には同じ等数を割り当てます．
6個の玉に「あ--か」の文字を書き，抽選機に入れ，割り当てられた文字列が出るまで回していきます．
これも割り当てはすんなりとできました．

「回転数固定部門」（やり直し自体はOKだが回数には含まないとき）
「あ--く」の8個の文字から3個とる組み合わせ56個に1--10等をそれぞれ1--10個，はずれを1つ割り当てます．
8個の玉に「あ--く」の文字を書き，抽選機に入れ，3回回します．

「反則技部門」
4個の玉にそれぞれ1，2，3，4と書きます．
1，2，3，4を使ってできる3桁の数64個に，1--10等をそれぞれ1--10個，はずれを9つ割り当てます．
4個の玉を抽選機に入れ1回回し，数を記録するのを3回繰り返します．
3回の結果を順に並べてできる3桁の数に割り当てられたものが最終結果です．
4個の玉から合計が等数になるように選んで抽選機に入れ全部皿に出します．
はずれの場合は皿に何もないようにします．

「単純に玉の数最少部門」
「あ--お」の5個の文字を使ってできる同じ文字が出てこない文字列に等数を次のように割り当てます．
あいう：1等
あいえ，えあい：2等
いあ：3等
あえ，えあお：4等
えう，えあう，うえあ：5等
いえ，えい：6等
あう，うあ，うえい：7等
えお，おえ，うえお，おうえ：8等
うお，いう，うい：9等
おい，あお，おあ，おうあ：10等
5個の玉に「あ--お」の文字を書き，抽選機に入れ，割り当てられた文字列が出るまで回していきます．
3回回しても出ない場合ははずれです．

「回転数固定部門」
8個の玉にそれぞれ0，1，1，3，4，6，7，12と記入します．
3回回して合計が2，4，5，7，8，10，12，14，18，23以下の時それぞれ1--10等にします．

「反則技期待値最小部門」
るあ，るい，るう，るえ：1等
あ，るお，れあ，れい：2等
い，う，れう，れえ：3等
え，お，か，れお：4等
き，く，け，こ：5等
さ，し，す，せ，ろあ，ろい，ろう，ろえ：6等
そ，た，ち，つ，て，ろお，わあ，わい：7等
と，な，に，ぬ，ね，の，わう，わえ：8等
は，ひ，ふ，へ，ほ，ま，み，わお：9等
む，め，も，や，ゆ，よ，ら，り：10等
44個の玉に「あ--わ」の文字を書き，抽選機に入れ1回回します．
「る--わ」が出たら「あ--お」のみを入れてもう1度回します．
期待値は
1×40/44 + 2×4/44 = 12/11．

1〜11の玉を1個ずつ用意して、2個一度に引く。その差をとって差が10,9,8,...,1の順に1,2,3,...,10等とする。