�@一ノ瀬さんと十文字さんがそれぞれ１回ずつサイコロを投げる。
�A1・1、2・2、3・3のゾロ目は勝負なしでやり直し
�B4・4、5・5、6・6のゾロ目は一ノ瀬さんが勝ち。それ以外の結果は十文字さんの勝ち。

(1)サイコロを2回振る。
出た面の和が3以下なら一ノ瀬君の勝ち（3/36）
4〜10なら十文字君の勝ち（30/36）
11以上なら引き分けとしてやり直し。（3/36）


(2)サイコロを”￣＼／￣”の形の溝の中に投げて、上になる面が2つになるようにする。
上になった2つの面の和が3以下なら一ノ瀬君の勝ち、（1/12）
4〜10なら十文字君の勝ち、（10/12）
11以上なら引き分けとしてやり直し。（1/12）

1ゲームにつき1回サイコロを振り、11/12の確率で勝者が決まる。
投げる回数の期待値は12/11回。

地面に１：１１で升目を塗り分けして、
サイコロの転がった先の色で勝ち負けを決める。
1回で決着。

(2)変数nを用いる。
・サイコロを一度も振る前はn=0
・サイコロを投げるごとに、nに (出目-1)/(投げた回数^6) を加算する
nが1/11を超えれば十文字君の勝ち、1/11未満になることが確定すれば一ノ瀬君の勝ち。
一投ごとに5/6の確率で決着がつくので、勝率は6/5。

さいころを二回振る。
�@目の合計が2か3（3/36）　無勝負で改めて二回振る
�A11か12（3/36）　一之瀬くんの勝ち
�Bその他（30/36）　十文字くんの勝ち

これで3：30＝1：10になっているかと。

step1. さいころを振って1,2,3,4,5が出たら十文字君が勝ち。6が出たらstep2へ。
step2. さいころを振って1,2,3が出たら一ノ瀬君が勝ち。4,5,6が出たらstep1へ。

ヒミツ

(1)
十文字君がサイコロを1回振る。
5以下の目が出れば、十文字君の勝ち。
6が出れば、一ノ瀬君にサイコロを渡す。

一ノ瀬君は、サイコロを渡されたらこれを1回振る。
3以下の目が出れば、一ノ瀬君の勝ち。
4以上の目が出れば、十文字君にサイコロを渡す。

以降勝負がつくまで繰り返す。



(2)
勝率が1:10だから、サイコロを振る回数の期待値を1回に抑えることは不可。
5/6<10/11より、5/6の確率で勝負を1回で終わらすことならば可能。
…という考え方で(1)のゲームに考えつきました。


サイコロを振る回数の期待値は、
1*5/6 + 2*1/6*2 + 3*5/6^2*2 + 4*1/6^2*2^2 + 5*5/6^3*2^2 + 1*6/6^3*2^3 + ...

この式から奇数番目の項を取り出すと
5/6*(1 + 3/12 + 5/12^2 + ... + (2n-1)/12^(n-1) + ... )

この式の括弧内の部分の、第n部分和をS_n とする。
S_n= ( 1 + 3/12 + 5/12^2 + ... + (2n-1)/12^(n-1) )
S_n/12 = ( 1/12 + 3/12^2 + ... + (2n-3)/12^(n-1) + (2n-1)/12^n)

上の式から下の式を引いて、
11/12 * S_n
= 2*( 1 + 1/12 + 1/12^2 + ... + 1/12^(n-1) ) - 1 - (2n-1)/12^n)
= 2*(1-1/12^n)/(11/12) - 1 - (2n-1)/12^n)

n→∞ の時、S_n=156/121

同様にして、上の式から偶数番目の項を取り出すと
2*(1/12 + 2/12^2 + 3/12^3 + ... + n/12^n + ... )
となり、括弧内の総和は　12/121　である。


よって、求める値は
1*5/6 + 2*1/6*2 + 3*5/6^2*2 + 4*1/6^2*2^2 + 5*5/6^3*2^2 + 1*6/6^3*2^3 + ...
=5/6 * 156/121 + 2 * 12/121
=154/121
=14/11

よって、期待値の最小は 14/11 回。

さいころを一回投げる

出目：2〜6→十文字くんの勝ち（5/6＝10/12）
出目：1　じゃんけんをする
一之瀬くんが勝ったら、ゲームも一之瀬くんのの勝ち（1/6*1/2＝1/12）
十文字くんが勝ったら、さいころを投げなおす

さいころを投げる回数の期待値・・・
1回で済む可能性が11/12はいいんですが、２回で済む可能性が1/12*11/12、３回は1/12＾2*11/12・・・と延々と続きそうでこれをどう収束させていいのか分かりません（^^;

1.サイコロを振る
2.偶数が出たら十文字の勝ち
3.奇数が出たらもう1回振る
4.1-4なら十文字の勝ち
5.6なら一ノ瀬の勝ち
6.5なら1.からやり直す

(2)
サイコロの目（上面）の出方は1通りだけど、側面の結果も合わせると
かなりパターンを稼げる気がしました…

サイコロを1回振り、3つの面が見えているとする
（滅多にないだろうけどサイコロがまっすぐ止まって2面しか見えないときは、
　便宜的に見えている2面+左の面を「見えている3つの面」とする）

見えている3つの面について、
上面の数字 + 側面の2数の積 を計算する。　計算式は24通りできる。

計算結果が5になったら一ノ瀬君の勝ち
　2+1*3,3+1*2 の2通りだから、確率1/12
計算結果が6になったらもう1回
　2+1*4,4+1*2 の2通りだから、確率1/12
計算結果が7以上で十文字君の勝ち
　確率5/6

期待値は
1*11/12 + 2*11/12^2 + 3*11/12^3 + ...
=12/11

前のよりもちょっと少なくなりました。
側面を使うというのは有りなのか…？

ヒミツ

step1. さいころを振って1,2,3,4,5が出たら十文字君が勝ち。6が出たらstep2へ。
step2. さいころを振って1,2が出たら十文字君が勝ち。3,4,5が出たら一ノ瀬君が勝ち。6が出たらstep3へ。
step3. さいころを振って1,2,3,4が出たら十文字君が勝ち。5が出たら一ノ瀬君が勝ち。6が出たらstep4へ。
step4. さいころを振って1,2が出たら十文字君が勝ち。3,4,5が出たら一ノ瀬君が勝ち。6が出たらstep5へ。
step6. さいころを振って1が出たら十文字君が勝ち。2,3,4,5が出たら一ノ瀬君が勝ち。6が出たらstep7へ。
step7. 1,2,3,4,5が出たら一ノ瀬君が勝ち。6が出たらstep8へ。
step8. さいころを振って1,2,3が出たら十文字君が勝ち。4,5が出たら一ノ瀬君が勝ち。6が出たらstep9へ。
step9. さいころを振って1が出たら十文字君が勝ち。2,3,4,5が出たら一ノ瀬君が勝ち。6が出たらstep10へ。
step10. さいころを振って1,2,3が出たら十文字君が勝ち。4,5が出たら一ノ瀬君が勝ち。6が出たらstep11へ。
step11. さいころを振って1,2,3,4が出たら十文字君が勝ち。5が出たら一ノ瀬君が勝ち。6が出たらstep1へ。

(2)
以下, 話の都合上, サイコロの出目は 0,1,2,3,4,5 の 6 つとします.

まずはじめに, サイコロを (可算) 無限回振るゲームを考えます.
1回目に出た目を a_1, 2回目に出た目を a_2, …, n 回目に出た目を a_n, … とします.
このとき, 6進小数 x=0.a_1a_2a_3… を考え,
x<1/11 なら一ノ瀬の勝ち
x>1/11 なら十文字の勝ち
とします. (x=1/11 のときはなんでもいい)

するとこれは, 明らかに「一ノ瀬の勝つ確率が 1/11, 十文字の勝つ確率が 10/11」 のゲームになります.
しかしながら, このままではサイコロを無限回振る必要があります.
そこで, 「途中でどちらかの勝ちが確定した場合, その時点でゲームを終了する」というルールを付け加えることにします.
するとどういうことになるかというと,
1/11 を 6 進法で表すと 0.031345242103134… ですから,

・1回目… 1&#12316;5 が出た場合は十文字の勝ち (が確定して終了). 0 が出た場合のみ続行.
・2回目… 0&#12316;2 が出た場合は一ノ瀬の勝ち. 4&#12316;5 が出た場合は十文字の勝ち. 3 が出た場合のみ続行.
・3回目… 0 が出た場合は一ノ瀬の勝ち. 2&#12316;5 が出た場合は十文字の勝ち. 1 が出た場合のみ続行.
・4回目… 0&#12316;2 が出た場合は一ノ瀬の勝ち. 4&#12316;5 が出た場合は十文字の勝ち. 3 が出た場合のみ続行.
・5回目… 0&#12316;3 が出た場合は一ノ瀬の勝ち. 5 が出た場合は十文字の勝ち. 4 が出た場合のみ続行.
…

となります. このルールだと, それぞれの回において「続行」になる確率は 1/6 しかありませんから, これは一番早く終わるようなゲームであるといえます.

(1)
サイコロを2回振って(6*6通り)
1.合計「3」以下(1,1 1,2, 2,1の3通り)ならノーカン、やり直し
2.合計「4」(1,3 2,2 3,1の3通り)なら一之瀬君の勝ち
3.合計「5」以上（36-3-3=30通り）なら十文字君の勝ち

(2)
ここの回答(1)のパターンなら1回目「4」以上出た時点で十文字君の勝ちが確定するので
期待値の計算してませんが結構早いのではないかなぁと

(2)　答え：期待値1.2回が最小。　

ゲームのルール：　n回目に振った賽の目がH(n)以下なら一ノ瀬の勝ち、6が出たら次を振る、それ以外は十文字の勝ち。
数列　H(n)= int(R(n-1)*6^n）, R(n)= R(n-1)-H(n)/(6^n) ただしH(0)=0,　R(0)=1/11
H(n)　は一回目から順に　0313452421…　つまり、１回目：６以外は全て十文字の勝ち、２回目：３以下なら一ノ瀬、４・５は十文字の勝ち。
６以外の目が出るまで賽をふり続けることになるので、n回目に終了する確率が 5/(6^n)、
賽を振る回数の期待値はこの無限級数を解いて　6/5。

(a)　一ノ瀬が賽を投ずる。
　１以外の目：負け=十文字勝ち　
　１以外の目：十文字が賽を投ずる⇒(b)へ。
(b)　十文字の目が奇数：一ノ瀬の勝ち、偶数：⇒(a)へ戻る。
一ノ瀬の勝ち目が3/36、十文字の勝ち目が30/36なので、比率は　1:10

・・・一ノ瀬にも自力で勝てるチャンスが必ずあるように設定してみました。賽を振る回数の期待値　1+3/11回。　　

ヒミツ

1/11の6進表記を0.a_1a_2a_3・・・とする。
さいころをn回目に振って出た目より1だけ小さい数をb_nとし、
もしa_n<b_nなら、一ノ瀬君が勝つ
もしa_n>b_nなら、十文字君が勝つ
もしa_n=b_nなら、サイコロを振り直す

(さいころの目は1〜6であることを前提としたが、0〜5の目のあるさいころを使うとb_nを求める際に1を引く手間が省ける)

ゲームのルール：　
n回目に振った賽の目がH(n)以下なら一ノ瀬の勝ち、6が出たら次を振る、それ以外は十文字の勝ち。
数列　G(n)= Mod(G(n-1)*6,11) 、G(0)=1、H(n)= mod(G(n),6)

G(1)=6,H(1)=0
G(2)=3,H(2)=3
G(3)=7,H(3)=1
G(4)=9,H(4)=3

ヒミツ

１回目で１の目以外が出たら、十文字君の勝ち。
１回目で１の目が出たときはもう一回振って、１２３が出たら一ノ瀬君の勝ち、４５６が出た場合は、始めに戻って振り直し。

これで、
十文字君が５／６＝３０／３６
一ノ瀬君が３／３６
となって、１０／１１と１／１１の比率になる。

サイコロを振る数の期待値は・・・ちょっと難しくて分かりませんでした。

ヒミツ

ヒミツ

�@サイコロを振り、出た目が
1〜5：十文字君の勝ち
6：�Aへ

�Aサイコロを振り、出た目が
1〜2：十文字君の勝ち
3〜5：一ノ瀬君の勝ち
6：�Bへ

�Bサイコロを振り、出た目が
1〜4：十文字君の勝ち
5：一ノ瀬君の勝ち
6：�Cへ

�Cサイコロを振り、出た目が
1〜2：十文字君の勝ち
3〜5：一ノ瀬君の勝ち
6：�Dへ

�Dサイコロを振り、出た目が
1：十文字君の勝ち
2〜5：一ノ瀬君の勝ち
6：�Eへ

�Eサイコロを振り、出た目が
1〜5：一ノ瀬君の勝ち
6：�Fへ

�Fサイコロを振り、出た目が
1〜3：十文字君の勝ち
4〜5：一ノ瀬君の勝ち
6：�Gへ

�Gサイコロを振り、出た目が
1：十文字君の勝ち
2〜5：一ノ瀬君の勝ち
6：�Hへ

�Hサイコロを振り、出た目が
1〜3：十文字君の勝ち
4〜5：一ノ瀬君の勝ち
6：�Iへ

�Iサイコロを振り、出た目が
1〜4：十文字君の勝ち
5：一ノ瀬君の勝ち
6：�@へ

以降勝負がつくまで繰り返す。


上にある値は、6^10-1 が11で割り切れることと下の不等式から導き出されたもの。

5/6+2/6^2+4/6^3+2/6^4+1/6^5+0/6^6+3/6^7+1/6^8+3/6^9+4/6^10
＜10/11
＜5/6+2/6^2+4/6^3+2/6^4+1/6^5+0/6^6+3/6^7+1/6^8+3/6^9+5/6^10

ヒミツ