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通るマス目の個数は?
難易度:  
?具無しのとんぺい 2017/08/22 05:50
見てても読んででも目と耳がチカチカしますが... (^^;)(笑)
うまい説明が思いつかなくて申し訳ないです (-へ-;)


まず、40cm×40cmの正方形の中に縦横1cm間隔でグリッド線を引いてマス目状にします。
これにより40cm×40cmの正方形の中には1cm×1cmの正方形が、40×40=1600個敷き詰められた状態になります。

つぎに、この40cm×40cmの正方形の中にすっぽりと収まるような円を描きます。
つまりこの円の中心は40cm×40cmの正方形の中心と一致し、その半径は20cmです。


ではここで問題です。この円が通過するマス目(1cm×1cmの正方形)の個数はいくつでしょうか。


答えは計算で求めても、思いつかない人はゴリ押しで数えてもらっても構いません。
対称性とかを考えれば数え上げる個数自体は意外と多くないです。
ワードとかを使えばキレイな作図もできます。

グリッド線の描き方(Word)
http://www.becoolusers.com/word/grid-settings.html

それではご健闘をお祈りしています (^^)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

ヒント@(2017.8.27)
「通過する正方形の個数」は別の個数に帰着することで簡単に数えられます。ただし少し注意が必要です。

更なるヒントを追加しました。>>7 (2017.8.29)
"ヒントを付け足しますと、正方形を通過するときに必ず「あれ」を通過するので、正方形を通過する回数と「あれ」を通過する回数は対応しているはずです。そして、「あれ」を通過する回数は直感的に知ることが出来ます。

また、ゴリ押しで数えた時におそらく、「これは交点を通っているかどうかきわどいな」と感じる箇所があったと思います。では円がその交点を通過しているかどうかを調べるにはどうすればいいでしょうか。これはその交点に着目することで、計算で調べることが出来ます。(そして、この考え方はゴリ押しで数えない場合にも重要になってきます)
"

ヒント補足 >>8 (2017.8.29)
"ヒントが自分で読んでて分かりづらかったので少し補足しますと、交点に着目というよりかは交点(周辺)を通る円に着目する、と言った方がイメージとして適切かもしれません。
それによって、円がその交点を通るために満たすべき条件が見えてくると思います (^^)
"

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解答公開日は、出題から3週間後の9月12日あたり、ロックは9月19日あたりを予定しています。(2017.8.25)

解答公開しました!(2017.9.12)

ロックしました!(2017.9.19)
Answer答え
148個
※簡潔な説明はスレに任せます。

対称性から四分円の通る個数を4倍すればいいので、以下右上の20×20マスについて考えます。

「四分円が何個の正方形を通るか」という問題は、結局のところ、「四分円が縦横のグリッド線を何回通過するか」という問題に帰着されます。(なぜなら、例えば四分円を上から右に描くとき、四分円が正方形を通過するときには、必ず出口となる辺を1つ通過するからです。)
一番上からスタートして、一番右に到達するまでに縦20本、横20本のグリッド線を通過するので答えは40個と答えたいところですが、四分円がグリッド線の交点を通過する場合にはその個数を差し引かなければいけません。(交点を通っていない場合は1つの正方形を通過するときに1本のグリッド線のみを通過しますが、交点を通る場合には1つの正方形を通過するときに2本のグリッド線を通過しているからです。)
よって以下、この個数を数えます。

・四分円が一番右に達した時にはグリッド線の交点を通過しています。(まず1個)

・道中でグリッド線の交点を何個通過しているかは、円の半径が20cmなことから、つまり三平方の定理

20^2 = m^2 + n^2 (m, n : 自然数)

を満たす(m, n)の組が何組あるか、ということになります。(これを満たしている所で円が交点を通っていることになります)
これを調べるために、m=1, 2, … , 19に対して、20^2 - m^2が平方数になる場合を調べると、
(m, m^2, 20^2 - m^2) = (12, 144, 256), (16, 256, 144)
のみであることから、
(m, n) = (12, 16), (16, 12) の2組だけが先の式を満たすので、道中に通過する交点の数は2個だとわかります。

よって、四分円は(スタート地点を除いて)3個の交点を通過しているので、通過する正方形の個数は40-3=37個となり、円全体では37×4=148個の正方形を通過します。

(このように計算すると、m=6のときに(m^2, 20^2 - m^2)=(36, 364)で19^2=361とかなり近くなることから、作図で数える場合はここら辺が交点になってるかどうかかなりきわどくなるポイントになります。)


※余談ですが、
上述の三平方の定理が12^2 + 16^2 = 20^2 でしか成り立たないことは、実はピタゴラス数の性質からすぐにわかります。
(ピタゴラス数: 三平方の定理(ピタゴラスの定理) a^2 + b^2 = c^2 を満たす(どの2つも)互いに素な3数の組(a, b, c)を「ピタゴラス数」と言います。例えば(3, 4, 5)はピタゴラス数ですが、(6, 8, 10)はピタゴラス数ではないです(互いに素じゃないので。))

実は、先の(12, 16, 20)はピタゴラス数(3, 4, 5)をそれぞれ4倍したものです。
この例からわかるように、c=20で三平方の定理が成り立つのは
(c=(20の約数)のピタゴラス数)の数倍、であることが分かります。
つまり今回の場合は、

(c=1のピタゴラス数)×20, (c=2のピタゴラス数)×10, (c=4のピタゴラス数)×5,
(c=5のピタゴラス数)×4, (c=10のピタゴラス数)×2, (c=20のピタゴラス数)

ということになりますが、ピタゴラス数の一般的な性質としてcが奇数ということが知られているので(これは(奇数)^2と(偶数)^2を4で割った余りを考えることで容易に示せます)、c=5の場合以外はピタゴラス数が存在せず、(12, 16, 20)のみが定理を満たすことが分かります。(c=1のピタゴラス数は存在しません)

(※本当は(6,8,10)とかもピタゴラス数(可約ピタゴラス数)ですが、ここでは文章が煩雑にならないように既約のもののみをピタゴラス数としています。。。)
■
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