出題お疲れ様です
とりあえず問1

こうかな？

これでいいのか？

やっとこさ問2
・・・結論は自信あるんですが、説明がどことなく数学的じゃなくて国語的ごり押しになってる気がしないでもないです
（特に※以降）

1ヶ月以上経っていたので正解発表します。

問1

[3,0,0,0,0,…] 初期状態
[1,4,0,0,0,…] n=1として、操作を2回行う
[1,2,4,0,0,…] n=2として、操作を2回行う
[1,2,3,2,0,…] n=3として、操作を1回行う

5回の操作で、条件を満たすことができました。

問2

1番目のマスに置かれているコインの価値を 1
2番目のマスに置かれているコインの価値を 1/2
3番目のマスに置かれているコインの価値を 1/4
：
n番目のマスに置かれているコインの価値を 1/ 2^n-1
とします。

あるマスに置かれているコインの価値は、ひとつ次のマスに置かれているコインの価値の2倍であるので
どのマスに対して操作を行っても、盤面に置かれているコインの価値の和は保たれます。

勝利条件を満たすことができる範囲で、各マスに可能な限りコインを置いていくと、
その総価値は 1/1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + … + n/2^n-1 + … となります。

この和は、
(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …)
+ (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …)
+ (1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …)
+ (1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + …)
+ …
= (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …)(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …)
と変形することができ、
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2 なので、総価値は2・2 = 4 となります。

与えられた初期状態での総価値は4なので、勝利条件を満たす局面は
「どのマスも、そのマスの番号に等しい枚数のコインを置かれた状態」でなければなりません。
その状態に達するためには無限に多くのコインを置いていく必要があるので、有限回数の操作で勝利することはできません。

おまけ (2017/01/16追加)

この問題を作るきっかけとなった動画です。
Pebbling a Chessboard - Numberphile
https://www.youtube.com/watch?v=lFQGSGsXbXE