問3の一般解はこれから考えます。

題意を間違えてなければ

こうか？

証明は難しいですが。

二つに分けます。まずは問１と問２

問３に挑戦。難しい 。ところで、空気読めない人さんの「こうか？」は硬貨→コイン？

問1,2もうここの段階で大苦戦でしたがやっと

問3の結論だけ・・・合ってたとしても証明（説明）がまとまらない

問3はまた後でじっくり考えます。

証明はまだだけれど
考えつく限りではこうなった。

証明に必要なパーツを集めています…
必要ではないとはいえ、なんとなく気になってて…。

これもパーツ

こりゃ最終的にプログラムを書いてしまいそうな勢い

パーツはそろそろそろってきた

ぷろぐらみんぐ、ここから

ぷろぐらみんぐ、ここまで

補足。
まとまってはないが一通り言いたいことは言った。

また折を見てJavaででも勝利手順を
出力するプログラムでも組んでやろうかなぁ…。

問３この説明でいいか分からない

問3の証明がやっとできました！

問３の説明。長ったらしいですが、証明とまでいかなくとも、説明の試みです。回答の確認も大変でしょうね。お察しいたします。

とりあえず問3の勝利手順
・・・説明の長さ的にもコイン枚数的にも操作回数的にもかなり無駄がありそうな予感がしますが

長らくご無沙汰しています。　まずは問１・問２のみで。

問３です。
記した５つの定理が正しければ、証明になっているはずです。
定理１〜４は自明もしくは容易。
定理５は手元では証明できているのですが、長くなってしまうので省略しました。･･･ずっと簡略な説明がありそうなので、できたらアップします。

久しぶりに数学好きが集まる問題 　ありがとうございます！

皆様、ご参加ありがとうございます。
問3の証明に挑戦していただける人が予想以上に多く、驚いております 。
問3のうち、「特定の配置では勝利できないこと」の証明は、（力技では）長くなりそうです。

正解発表および解説は、今週末を予定しております。

まず、問1および問2から。

「他のマスのコインの枚数を変えず、n番目のマスにコインを1枚置く」
となるように、既存の操作を組み合わせる。これを操作X(n)とする。

・操作X(1)は、操作1を1回行うことに等しい。
・操作X(n)となる手順が存在する時、操作X(n+2)は、
　操作X(n)→操作X(n)→操作X(n)→操作X(n)→操作2(n)→操作3(n) に等しい。
数学的帰納法により、任意の奇数nにに対し、有限回の操作の組み合わせで操作X(n)となる手順が存在するので
問1、問2ともに有限回の操作で勝利することができる。

つづいて、問3です。

指標の導入

各コインに対して、「価値」をつける。
n番目のマスに配置されているコインの価値を(-2)ⁿと定める。

また、マスの上に置かれている各コインの価値の和を「総価値」、
勝利条件を満たすようにコインを配置した時の総価値を「目標価値」と呼ぶことにする。

目標価値の符号を調べる

星印の描かれたマスのうち、1番目のマスから最も遠いマスをn番目のマスとする。
勝利条件を満たした時、n番目のマスに置かれたコインの価値は(-2)ⁿである。
1番目から(n-1)番目までのマスに置かれているコインの価値の"絶対値"の和は
高々 2 + 4 + 8 + … + 2^n-1 = 2ⁿ-2 である。
|(-2)ⁿ| ＞ 2ⁿ-2 なので、目標価値の符号はn番目にコインが置かれた時の価値の符号と一致し、
・nが偶数なら、目標価値は正
・nが奇数なら、目標価値は負
ということになる。

最も遠い星印マスが偶数番目のマス＝目標価値が正の場合

それぞれの操作を行った時、操作1を行うごとに総価値は2減り、
操作2および操作3では総価値は変化しない。
初期状態での総価値は0であり、どの操作を行っても総価値を増やすことはできないので
勝利条件を満たす配置にはなりえず、勝利することは不可能。

最も遠い星印マスが奇数番目のマス＝目標価値が負の場合

「n番目のマスと、それよりも起点に近いすべての偶数番目のマスに、コインを1枚ずつ置く」
となるように、既存の操作を組み合わせる。これを操作Y(n)とする。

・操作Y(1)は、操作1を1回行うことに等しい。
・操作Y(n)となる手順が存在する時、操作Y(n+2)は
　（問1・2で証明した「操作X」を用いて） 操作Y(n)→操作X(n)→操作2(n) に等しい。
数学的帰納法により、任意の奇数nにに対し、操作Y(n)となる手順が存在することが確認できる。

勝利するための手順

星印が描かれているマスのうち、起点から最も遠いマスの番号を(2n+1)とする。
1. 操作Y(2n+1)を行う
　この操作を行うことで、(2n+1)番目以降のマスの星印の有無とコインの有無は一致し、
　それ以前のマスは、奇数番目ならばコインがなく、偶数番目ならコインが1枚だけ置かれている状態となる。

2. 必要に応じて、以下のa. とb. を行う
　a. 星印が描かれていない偶数番目のマスにコインが置かれている場合、「操作X(2k-1)→操作X(2k-1)→操作3(2k-1)」として、そのコインを取り除く
　b. 星印が描かれている奇数番目のマスにコインが置かれていない場合、操作X(2k-1)としてコインを置く

これで勝利することができます。

なかなか面白い問題でした。
あの指標は明快でいいですね。
私もその方向で少し考えたのですがうまい指標を思いつかず、
力技に走ってしまいました

正解発表お疲れ様です。もうただただ唸るばかり

命題「ある偶数マスＸにのみコインを置く」
Ｘにコインを置くには操作2をＸ−２かＸ−１が必要
Ｘ−１でやるとＸ＋１にコイン発生、これを（移動ではなくて）消去するにはＸで操作３が必要、それにはＸにコインを・・・
Ｘ−２でやるにはそこにコインが２枚必要、でもそのマスは偶数だから・・・で両方とも命題がループして破綻・・・
あとはＸ−１、Ｘにのみコインを置くことが出来ないのを説明出来ればと言うように考えてたんですがまとまらずに行き詰りました

実はこの問題は完全に行き詰るまでの間「毎日一時間程度考える」のが日課になってました
実に楽しく悩ませていただきました

今更ですが、あとがき。

あとがき

この問題は、底がマイナス2である記数法、「マイナス2進数」の規則をそのまま問題にしたものです。
マイナス2進法とは、符号を使わずに任意の実数を表現することができる記法のひとつであり、普段私達が使っている「底が自然数である記数法」には見られないような複雑な繰り上がりの規則が存在します。

マイナス2進法では「01 + 1 = 110」「11 + 1 = 0」という繰り上がりの規則があり、
この問題における操作2、操作3に相当する、ということでした。

参考文献

・Negative base - Wikipedia（英語版）
　https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_base