ヒミツ

2でしたか。（分母の「＋１」を見落とし ）
（分母が３次で、分母が４次だから、関数が「右上がり」になるのは予想できる。ｘ＜１のときは分母が小さくなるから、ｘ＝１のときが最小だろう・・）

f(x)=((x+1)^4)/(4x(x^2+1))
として考えました。

x>0の範囲でのf(x)の最小値は2。
そのときのxの値は1です。

証明
まず、x<0の範囲でf(x)の最大値を考えます。
(x+1)^4≧0、x^2+1＞0、x＜0ですので、f(x)≦0です。
f(x)=0となるのはx=-1のときのみですので、
f(x)はx=-1で最大値0をとります。

f(x)を変形すると、
f(x)=(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)/(4x^3+4x)=1+(x^4+6x^2+1)/(4x^3+4x)

g(x)=f(x)-1とすると、g(x)=(x^4+6x^2+1)/(4x^3+4x)
g(-x)=-g(x)ですので、y=g(x)のグラフは原点について点対称です。
x<0の場合、g(x)はx=-1で最大値-1をとりますので、
x>0の場合、g(x)はx=1で最小値1をとることが分かります。
よって、x>0の場合、f(x)はx=1で最小値2をとります。

4f(x)
=(x＋1)^4 / x(x^2＋1)
=x + 4 + (5x^2+1)/x(x^2＋1) [整式の除法]
=x + 4 + 4x/(x^2+1) + 1/x [部分分数分解]
=4 + (x+1/x) + 4/(x+1/x)
=4 + t + 4/t [t=x+1/x とおいた]
ここで x>0 より t>0 であることに注意して, 相加相乗平均の不等式により
t + 4/t ≦ 2√(t&#8901;4/t)=4 [等号は t=2 で成立]
t=x+1/x にも同様に相加相乗平均の不等式を適用すれば, x=1 のとき, そしてのみ t=2 となることがわかる.
以上より 4f(x)≦4+4=8 したがって f(x)≦2 [等号は x=1 で成立]
すなわち x=1 で f(x) は最小値 2 をとる.

f(x)-2=(x-1)^4/4x(x^2＋1) である. (※因数分解の公式から (x+1)^4-(x-1)^4=8x(x^2＋1) という計算をしておくと楽にわかる)
x>0 において f(x)-2 の分母は正, 分子は 0 以上である. したがって, 分子が 0 となるとき, すなわち x=1 のとき f(x) は最大値 2 をとる.