２はわからん

・・・ような気がしました。

(2)のもっと簡潔な証明はあるのだろうか。

（1）はこうじゃなかったかな・・・
（2）は二択までしか絞れない

こっちのみ

>>4にレスありがとうございます
（1）正解だった
（2）そういえばそうですね

(1)はよいとして、
私の（2）の説明は数学の証明じゃないですね

2を勘で

説明が長くなってしまいました。

一般的な証明を求められてるのかと誤解して途方にくれてましたら、
そうか、2016乗以上のうちで「当てはまるひとつ」を選べば良かったのですね

ヒント:倍数

(2)こういう事？

解答です．

(1)2016^2016の時点で操作回数k=0とする．
[1]k=0で生成される数2016^2016は9の倍数である．
[2]k=nで生成される数が9の倍数であると仮定する．するとk=n+1で生成される数はその数の各桁の数の和であるが，9の倍数の各桁の和はまた9の倍数であるので，k=n+1で生成される数も9の倍数である．
以上より，何度操作しても9の倍数になる．問題より最後は1桁の整数になることが明らかであり(単調減少性を示すのは簡単ですが省略)，候補は0か9しかない．明らかに0にはならないので9しか残らない．
答：[ ア ]=9

(2)どこかに0があれば各桁の積は0になる．2016^{[ イ ]}は莫大な数になるので，ほぼ確実にどこかに0があることが予想される．しかしそれは予想でしかないので，確実に0が含まれるような[ イ ]を探すのが方針となる．
下2桁の周期は長さ5で16→56→96→36→76→16となる．もし下2桁が56になれば，1回目の操作後に得られる数は必ず30の倍数になり，末尾が0になる．よって2回目の操作で確実に各桁の積が0になる．前述の周期より指数が5の倍数であれば末尾が76であり，したがって2016^2015の末尾が76．よって2016^2017の末尾が56になる．よって一例として
答：[ イ ]=2017，[ ウ ]=0．

他に下3桁の周期に着目して016などが何項ごとに現れるかを考える方法もあります．

あっているだろうか，ドキドキ