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グリコじゃんけん
難易度:★★★★  
?たっくん4 2015/10/14 09:53
グリコじゃんけんってご存知ですか?
・グーで勝ったら「グ・リ・コ」で3つ進む
・チョキで勝ったら「チ・ヨ・コ・レ・イ・ト」で6つ進む
・パーで勝ったら「パ・イ・ナ・ツ・プ・ル・ウ」で7つ進む
という遊びです。(パーは6つ進むルールが一般的ですが、ここでは変則ルールとしています。)

ヒトのよいパックンが天才的に数字に強くしかもずる賢いA穂に絡まれています。
「おいパックン、グリコじゃんけんしようぜー。
 ただ進むんじゃつまんないから、その分金賭けてさー」
たとえば、パーで勝ったら7ドルを相手から受け取ります。アイコは受け渡しなしです。

問1 ナイーブな(言葉を変えれば・・・おバカな)パックンは、グーチョキパーを1/3の等確率で出すことが予めわかっている。
 A穂にとっての最適戦略(もっとも自身の収益の期待値を高める戦略)と、
 その場合の一回の試行(じゃんけん)あたりの期待値を求めよ。
問2 問1の状況において、試行が無限に行われると仮定したとき、
   パックンの通算収益が一時的にでもプラスになることがある確率を求めよ。
問3 このゲームの本来の最適戦略※を求めよ。
 (※ナッシュ均衡解:相手がどのような戦略をとった場合にも相手が収益の期待値を高めることができないような戦略のぶつかりあい)

実は問2がいちばん難しいと思います。☆4は問2基準。問2と問3は独立していますので、問3から答えてくださってもかまいません。
かってに君は 
 ・問2の答えを四捨五入して%単位(2桁の全角数字)で囁いてくださった場合
 ・問3の戦略の グー:チョキ:パー=*:*:* の*部分を3桁の全角数字で囁いてくださった場合
に反応します。
Answer問1 
チョキを出し続ける。一回の試行あたり平均1ドルの収益が得られる。
問2 
A穂がチョキを出し続けた場合、勝てば3ドルを得て、負ければ6ドルを失う。
アイコを除外すると、勝つ可能性も負ける可能性も50%。
プラスは常に3ドル刻みであるので、通算で「+3」という状態が一度でも発生することと同義。
その確率をpと置くと、「+6」という状態が一度でも発生する確率はp^2であり、「+9」という状態が一度でも発生する確率はp^3である。
・最初に負けた場合、いきなり「+3」という状態が発生する。
・最初に勝った場合、「−6」を基点にして「+9」という状態を発生させる必要がある。
よって p= 1/2 + 1/2 * p^3
これを解くと 0 = (P-1) (P^2-P+1) 明らかに 1 > P > 1/2 なので、P= (√5 - 1 ) / 2 = 約61.8% 62
問3 
グー:チョキ:パー=6:7:3の比率で出す。673
正解画像問3正解! 673
正解画像問2正解! 62
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