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東京五輪記念硬貨偽造事件
難易度:★★★  
?s_hskz 2015/09/20 02:39
 
東京オリンピック記念硬貨が金貨1枚と銀貨の1枚と計2枚をひと組にしてケース売りにされて販売されました。金貨の重さと銀貨の重さは1オンスです。ケースの重さを無視すればひとケースあたりの重さは2オンスとなっています。

双子の金太郎と銀次郎がお金を出しあって5ケースを購入しました。

購入した日に金太郎は5ケースの全てから金貨を取りだし愛でてから再び各ケースにしまいましたが、この際、それぞれの金貨が、取り出された元のケースにしまわれたとは限りませんでした。

その後、銀次郎が5ケースの全てから銀貨を取りだし愛でてから再び各ケースにしまいましたが、この際、それぞれの銀貨が、取り出された元のケースにしまわれたとは限りませんでした。

そして翌日、警察から連絡がはいりました。

「あたなたちの購入した記念硬貨の5ケースの中に偽造グループが作成した偽物が1ケースはいっています。偽造されたケースの金貨も銀貨も本物よりは微妙に軽いのです。本物の金貨と銀貨の重さはご存知とは思いますが1オンスです。ニセの金貨とニセの銀貨の重さは、0.999999999オンスなのです。警察も含めあなたたち市民の皆さんにもわからないほどの微差でしかありません。幸いにして超高性能の天秤を持っている研究者があなたたちの隣家に住んでいらっしゃいますので私たち警察の立ち会いのもと偽造硬貨のセットのケースをひとつ突き止めたいのです、どうか捜査に御協力をお願い致します。」

金太郎はあわてて警察に答えました。
「もちろん捜査には是非とも協力します。でも実は昨日、私は金貨をケースから全部取り出して、再びケースにしまうときに、デタラメにしまいました。そして弟は銀貨で同じことをしました。」

警察は唸りました。
「うーむ。事態は複雑になりました。5ケースあって1ケースの軽い偽造ケースを特定するためには、ケースごとにトーナメント方式で3回の天秤の使用でことたりましたのに。ニセ金貨もニセ銀貨もバラけてケースにしまわれたとしますと金貨5枚の中からニセ金貨1枚を探しますのに3回の天秤の使用、銀貨5枚の中からニセ銀貨1枚を探すのに3回の天秤の使用、計6回の天秤の使用が必要であることになりますか……あなたたちの隣家に住んでいる研究者が持っている超高性能の天秤は5台しかなく、しかも1回でも使うと壊れてしまい使い物にならなくなるのです。ニセ金貨およびにニセ銀貨には犯人の指紋がベタベタとついていることが防犯カメラからわかっていました。もちろん、他の人々の指紋もたくさんついていますが……そして本物のケースの中の金貨および銀貨にもいろいろな人々の指紋がベタベタとついていることがわかっていますし……海外逃亡を企てている偽造グループを足止めして逮捕するためにも、一刻も早く犯人の指紋を絞り込みたいのです……それには偽造硬貨を全て特定しなければなりますまい、調査不要の指紋は取り除きたいのです。……高性能の天秤の台数が足りません、事態は複雑です、なんとかならないものでしょうか……」

【問題】

本物の金貨と銀貨の重さは1オンス、ニセの金貨とニセの銀貨の重さは、0.999999999オンスです。本物の金貨と銀貨はそれぞれ4枚づつあり、ニセ金貨とニセ銀貨はそれぞれ1枚づつあります。暗黙の了解事項ですが、もちろんのこと金貨と銀貨の区別はつきます。(つかなかったら別の天秤パズルになりますゆえに。)ニセ金貨とニセ銀貨を確実に特定できるために必要な天秤による比較の【最小回数】とそのための【手段】を考えてください。

ご回答にあたっては、5枚の金貨に、ABCDEの名前を、5枚の銀貨に、abcdeの名前をつけ、例えばABを左の皿に、CDを右にのせて重さを比較するときには、
AB^CD
の書式での記述を囁き欄にて、お願い申し上げます。

また、(k+1)回目の天秤の使用にあたって、k回目までの天秤による重さの比較の結果を参考にして構いません。その際には処理の分岐をできるだけわかりやすくお書きくださいませ。


この謎をお楽しみ頂ければ幸いです。

みれいさんのご指摘により、以下の条件を追加致します。
指紋の重さは0とします。

みれいさん、有り難うございました。
 
Answer 
■測定方法

@ Aab^Ede
A DEa^ABe
B BDc^Cbd


■測定見取図 

@ABでの測定で、○は左に乗せる、●は右に乗せる、−は乗せないことを示します。

\:@AB
A :○●−
B :−●○
C :−−●
D :−○○
E :●○−
a:○○−
b:○−●
c:−−○
d:●−●
e:●●−


■ニセコイン判定図

@ABでの測定の結果、○は左が軽かったこと、●は右が軽かったこと、−は釣り合ったことを意味します。それらの組み合わせ全25パターンについてのニセ金貨、ニセ銀貨についての判定図です。例えば、

\:@AB
??:○−−

ならば判定図を引いて金貨Aと銀貨aとがニセモノだとわかります。

\:@AB
Da:○○○
Db:○○−
Ca:○○●
Ba:○−○
Aa:○−−
Cb:○−●
Ac:○●○
Bb:○●−
Ab:○●●

Dc:−○○
Ea:−○−
Eb:−○●
Cc:−−−
Bc:−●○
Ae:−●−
Ad:−●●

Ec:●○○
Dd:●○−
Ed:●○●
De:●−○
Ee:●−−
Cd:●−●
Be:●●○
Bd:●●−
Ce:●●●


===

No.8に補考を投稿させて頂きました。

■
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