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ドーナツを半分こ?
難易度:★★  
?ゆりあ 2015/02/24 19:01
パップス・ギュルダンの定理をご存知でしょうか。

回転体の体積=回転させた図形の面積× 図形の重心が描いた円の円周の長さ

というもので、これによって、一見難しそうな「ドーナツ」の体積も簡単に出すことができます。

円の重心は中心なので、回転の基準となる軸から中心までの距離がRの、
半径r(r<R)の円を回転させてできる円環体(ドーナツ)の体積は

πr2(面積)×2πR(重心が描く円周) と求められます。


では、上記と同じ条件の円において、
軸と平行で円の中心を通る直線によって円を2等分したとき、
それぞれの半円によってできる回転体の体積は、元の円が作った円環体の体積の半分だろうか

軸より遠い方の半円の回転体の体積を求めて確かめよ
ただし、積分を用いてはならない。

ヒント
[半径がrの球の体積は4πr3/3であり、球は軸に直径が接した半円の回転体なので・・・]
Answer円の中心から半円の重心までの距離dは必ず正の値として存在し、

回転軸から内側の半円の重心までの距離はR-d
回転軸から外側の半円の重心までの距離はR+d

となるので用意に確認することができます。

問題では外側の半円による回転体の体積を求めて確かめよとのことなので、dを求める必要があります。

さて、直径が回転軸に接した半円を考えると、
軸から半円の重心までの距離はdであり、
その回転体は半径rの球なので、dを求めることができる
回転体の体積は2πd×πr^2/2=π^2×d×r^2
球の体積は4πr^3/3であり、等号で結んでこれを解くと
d=4r/(3π)

よって、求めたい円環体の外側の半円の重心までの距離はR+dなので、円環体の体積は

2π(R+4r/(3π))×πr^2/2
=π(πR+4r/3)r^2

展開してもいいですが、私はここで止めます
■
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