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誕生日はいつ?
難易度:★★★  
?I.T 2014/05/24 22:15
この問題では、誕生日は日にちのみを表すものとします。(例:3/7生まれの人の誕生日は7日)


A「へえ、3人とも1月生まれなんだ!実は僕も1月生まれなんだよ。1月○日。皆は?」

?「ふふふ、せっかくだから俺らの誕生日当ててみなよ。」

A「え!?なにかヒントはないの?」

?「A以外の3人の誕生日の和と積の差は、ちょうどAの誕生日になる。組み合わせで構わないよ」

?「俺の誕生日はこの中では一番早いな」

A「……え?それだけ?まだわからないよ、ほかには?」

?「俺の誕生日は奇数」

A「なるほど、わかった!」


後日
A「……ってことがあったんだよ」

B「皆一人称が同じで区別できんな。で、Aの誕生日はいつだっけ?」

A「え、忘れちゃったの?冒頭で言わなかったっけ?」

B「いや、『ふふふ……』からしか聞いていないが」

A「……当ててみてよ、さっきの話をヒントにさ」

B「じゃあもし、最後に奇数だと宣言した人ではなく、代わりに他のどちらかが、自分は奇数だと宣言していたとしたら、Aは誕生日の組み合わせを判断できたかい?」

A「できたかもしれないし、できなかったかもしれないね」

B「ふむ、○日か」


さて、
Aは何日生まれでしょう?
Answer25日

A以外の3人の誕生日をa,b,c(a<b≦c)
Aの誕生日をA(a<A)とすると
abc-a-b-c=±A
と表せる
両辺にaをかけて変形すれば
(ab-1)(ac-1)=a^2±Aa+1

また-2≦a^3-3a<±Aより
abc>a+b+c
(b-1)(c-1)=2+A
(2b-1)(2c-1)=5+2A≧25 (A≧10)
(3b-1)(3c-1)=10+3A≧121 (A≧37)

よって
A<10のときa=1
(b-1)(c-1)=2+A

A≧10のとき
a=1かつ(b-1)(c-1)=2+A または
a=2かつ(2b-1)(2c-1)=5+2A

をAの値ごとにaを動かして調べる
ただし、奇数宣言する人を考えれば
一通りに絞れず、あるパターンではbまたはcが奇数で、それ以外のパターンではbもcも偶数で、aが奇数であるパターンが2つ以上あるようなAが答えになる。
等式の偶奇を考えれば、Aは10以上の奇数を考えれば十分である。
また、a=2である可能性を残す必要があるため、b=3,4であり、このときAは5の倍数または7で割って1余る数なのでA=15,25,29の3通りを考えればいい。
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