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このクイズの参加者（5人）
算数・数学クイズ
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 中高生のための数学(夏休み中にやってね)
難易度：★★
 河野真衣
2013/08/22 21:35
「おばあちゃん、これ出来ないんですけど、やってくれません?」。中学生が、普段は使わない丁寧語で頼んできた問題です。ここは格好良くバッバッとやって威張ってみたかったんですが、簡単にはいきませんでした。皆さんはどうでしょうか?
『問題』 次の ① ② ③ が成り立つような (x,y,z) を求めて下さい。 x(1+z) = y(1+x) = z(1+y) … ① x+y+z = xy+yz+zx … ② x＞y＞z … ③ (x,y,z) = (0,0,0),(1,1,1) でも ①② は成り立ちますが、③ に反しますね。
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回答募集は終了しました。
河野真衣
早速の回答有難うございました。 正解です。
x(1+z) = y(1+x) = z(1+y) = a
x=0のとき、a=y=z=0となるので適さない。 x=-1のとき、a=0、y=z=-1となるので適さない。 以上から、x≠0、x≠-1 y=a/(1+x)、z=(a-x)/x また、z(1+y)=(a-x)/x*(x+a+1)/(x+1)=aより -x^2-x+a^2+a=ax^2+ax (a+1)(x^2+x-a)=0 この式は、y、zについても同様に成り立つ。 a≠-1のとき、x^2+x-a=0となり、x,y,zの取りうる値は、高々2つであるので、適さない。 よってa=-1となり y=-1/(1+x)、z=-(x+1)/x となる。 2(x+y+z)=x+y+z+xy+yz+zx=3a=-3 x+y+z=-3/2 (左辺)=x-1/(1+x)-(x+1)/x=(x^3-3x-1)/(x^2+x) よって、 2x^3+3x^2-3x-2=0 (x-1)(2x^2+5x+2)=0 (x-1)(2x+1)(x+2)=0 したがって、x=1、y=-1/2、z=-2 
何も思いつかず結局ゴリゴリ
河野真衣
お疲れ様でした。見事正解です。
河野真衣
整数という条件はついていませんが、x,y,zの内、2つは整数です。
まずは③の条件なしに、コツコツやると、
(0,0,0), (1,1,1), (1,-1/2,-2),(-1/2,-2,1),(-2,1,-1/2) なので、答は (1,-1/2,-2) でしょうか？なお、整数という条件は不要ですね。
お久しぶりです
河野真衣
正解です。
ほんとにお久しぶりです。お元気でした? これからもよろしく。 
河野真衣
おめでとうございます。 その通り正解です。
回答有難うございました。 夏休みも終わりましたので、答えを書いておきます。
式の形が整っているので、何かスマートな解法があるのでは?と思いましたが見つけることができず、結局はヤボッたい解き方になってしまいました。  x(1+z)=y(1+x)=z(1+y)…① x+y+z=xy+yz+zx…② x＞y＞z…③ y(1+x)=z(1+y) より、y=z/(1+x-z)…④ x(1+z)=y(1+x) に④を代入 x(1+z)=z(1+x)/(1+x-z)→x(1+z)(1+x-z)=z(1+x)…⑤ ⑤を移項、整理して因数分解すると (x-z)(xz+x+1)=0 x＞zより、xz+x+1=0 → x(z+1)+1=0 → x(1+z) = -1 ①より、x(1+z)=y(1+x)=z(1+y) = -1 …⑥ であることがわかります。 ②より、2(x+y+z)=(x+y+z)+(xy+yz+zx)=x(1+z)+y(1+x)+z(1+y) = -3 よって、x+y+z = -3/2…⑦ ⑥の y(1+x)=-1 より、y= -1/(1+x)…⑧ x(1+z)= -1 より、z= -(1+x)/x…⑨ ⑧⑨を⑦に代入 x - 1/(1+x) - (1+x)/x = -3/2 両辺を2倍し、移項して整理すると 2｛x^2(1+x)-x-(1+x)^2｝+3x(1+x)=0→ 2x^3+3x^2-3x-2=0 因数分解して、(x-1)(2x+1)(x+2)=0 x= 1,-1/2,-2 それぞれのxについて(x,y,z)を求めると、(x,y,z)=(1,-1/2,-2),(-1/2.-2,1),(-2,1,-1/2) ③が成り立つのは、(1,-1/2,-2)だけ。よって求める答え→(x,y.z)=(1,-1/2.-2) |
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