X^n+2Y^n=4Z^nが成立しているとすると、X^nは偶数でなければならないのでXは偶数。
そこで、X=2Pとおく。
(2P)^n+2Y^n=4Z^n
2^n×P^n+2Y^n=4Z^n
2^(n-1)×P^n+Y^n=2Z^nとなる。Y^nは偶数でなければならないのでYは偶数。
そこで、Y=2Qとおく。
2^(n-1)×P^n+(2Q)^n=2Z^n
2^(n-1)×P^n+2^n×Q^n=2Z^n
2^(n-2)×P^n+2^(n-1)×Q^n=Z^nとなる。Z^nは偶数でなければならないのでZは偶数。
そこで、Z=2Rとおく。
2^(n-2)×P^n+2^(n-1)×Q^n=(2R)^n
2^(n-2)×P^n+2^(n-1)×Q^n=2^n×R^n
P^n+2Q^n=4R^nとなり、はじめの式と同等の式になった。
これを繰り返していくとX、Y、Zすべて無限に2の約数を持つことになる。
したがって、このような数は存在しない。

最後のツメが今ひとつかなあ。

う〜む 恐らくは正解なのでしょうが私の数学的思考能力が低いせいか、理解できません 背理法を用いてみてください その方がすっきりしますよ。

修正しました。

X^n+2Y^n=4Z^nが自然数で成立していると仮定する。
3つの数すべての共通の約数を持たない(X,Y,Z)の組が存在するはずである。

で、先ほどの証明になって、、、、

2はX,Y,Z共通の約数である。
したがって、最初の仮定が誤りである。

こんなものですかね。

こんなものって言えるPDJさんに（＠o＠）

私は数学に詳しくないので、証明は知らないのですが、
フェルマーの最終定理って色々なドラマがあるんですねぇ。
読んでいて面白かったです。
http://www1.fctv.ne.jp/~ken-yao/Fermat.htm