答え

||f(x)|+b²-a²|はb＞a＞0より常に正ですから

log||f(x)|+b²-a²|

は全域で定義されます．そして，yを計算すると

y=2x(x≧0)，0(x＜0)

ですので，x=aからbまでの面積はb²-a²

この問題、高校の範囲を超える可能性があることは認識されてますか？

||f(x)|+b²-a²| = 1 とか、0 < ||f(x)|+b²-a²| < 1 と

なる場合はどうすれば良いのでしょうか？

log(1) = 0 ですし、log(x) < 0 (0 < x < 1) のはずですよね。

||f(x)|+b²-a²| = 1 となるときに、y の値をどう定義されているのか良く解りませんが、

少なくても　0 < ||f(x)|+b²-a²| < 1　となる区間では y = 0 ではないでしょうか。

具体的に挙げれば、a = 1/3 , b = 2/3 , f(x) = 1/2 (定数関数)　等。

今，ちゃんと解き直してみました．あ…a,bが整数であるというのを書き忘れていましたね．こちらのミスで挑戦された方には時間を無駄にさせてしまい申し訳ありませんでした．作問時に作った解答をうろ覚えで書いただけなので，条件書き忘れに気づきませんでした．

以下，a,bが整数という条件のもとでのこちらの意図した正解です．

g(x)=|f(x)|+b²-a²|

と定義して，これを用いれば

y={xlog(g(x))+|xlog(g(x))|}/|log(g(x))|

={xlog(g(x))+|x||log(g(x))|}/|log(g(x))|

=xlog(g(x))/|log(g(x))|+|x|

=xsgn(log(g(x)))+|x|

ただし，sgn(z)はzの符号を表し，正ならば1，負ならば-1です．

g(x)≧3＞1(∵0＜a＜b；a,bは整数)ですから，log(g(x))＞0であり，したがってsgn(log(g(x)))＝1

今，面積を求める区間はx＞0にあるのでx＞0の範囲でグラフの式が分かればよく

y=x+|x|

=2x　(ただしx＞0)

よってx=a〜bまでの面積は∫[x=a〜b](2x)dx=b²-a²


なお，本来意図した解答はこれですから，高校範囲は超えていません(sgn関数は式を見やすくするために導入しただけで，使う必要はありませんし)．