来年は…残念、総和2013だとちょっと無理がある。

↑次，同じ条件で答えが1通りに定まるのは2014年のようですね．


良い問題ですね．

KSTさん、今晩は。 お久し振りのような気がしますね。
一応すっきりするような結果にはなりましたがどうでしょう?

高校の期末テストにぜひ出したい程度のいい問題。
入試の基本レベルにもいい。

みれいさん、朱雀さん、河野真衣さん、G_Betaさん、ご挑戦ありがとうございました！
それでは、解答・解説です！

★★★★★★★★★★
３つのペアをＡ、Ｂ、Ｃ、それぞれのペアのカードに書かれた数を、Ａ…（a,b）、Ｂ…（c,d）、Ｃ…（e,f）とする。

「１」と書かれたカード(これをエキストラカードと呼ぶことにする)を３枚用意し、これをそれぞれのペアに１枚ずつ加える。すると、３つのグループＡ'…（a,b,1）、Ｂ'…（c,d,1）、Ｃ'…（e,f,1）が出来る。これらに対して、問題の操作を、次に定める操作で置き換え、ありうる全ての組み合わせにおいて1回ずつ行っても、ノートに記録される数の全体は変わらない。

３つのグループから、カードを１枚ずつ取り出す。
次に、取り出したカードに書かれた数の積をノートに記録する。ただし、３枚全てエキストラカードを選んではならないものとする。取り出したカードは、もとあったグループに戻す。

よって、これと問題の条件より、(a+b+1)(c+d+1)(e+f+1)-1=2012が成り立つことが分かる。(左辺を展開することを考えれば一目瞭然である)

すると、(a+b+1)(c+d+1)(e+f+1)=2013=3・11・61であり、a,b,c,d,e,fはいずれも正の整数なので、a+b+1,c+d+1,e+f+1はいずれも3以上の整数である。すなわち、これらは3,11,61、またはその並べ替えである。

よって、
a+b+c+d+e+f
=(a+b+1)+(c+d+1)+(e+f+1)-3
=3+11+61-3
=72

なので、求める和は、

72

である。
★★★★★★★★★★

なお、上の解答では、「エキストラカード」なるものを使用していますが、これは上記のように因数分解されることを、視覚的に分かりやすくするためのものです。
(皆さんの回答のような方法でも、もちろん解けます)