FAQ
RSSこのクイズのヒント
-
ヒント知らないよ
このクイズの参加者（1人）
算数・数学クイズ
算数・数学クイズ
広告
クイズ大陸関連書籍
|
|
ツイート
|
 目が回る組み合わせ問題
難易度：★★★★
 Jacob
2012/07/01 03:47
正多面体の各面を次のように塗り分けるとき、その塗り方は全部で何通りあるでしょうか。 |
 | 【No.>>7】 |
回答募集は終了しました。
誰も解答してくれないので、問１〜問３までが解ければ「ナス」を差し上げます、と大出血サービスしておくことにしてみます
 あと少しヒントっぽいものでも。例えば問４ですが、ただ単に１２面の内、４面を赤、４面を青、４面を緑に塗り分けるとすれば、その塗り分け方は全部で、12C4×8C4＝34650 通り あることは分かるかと思います。 しかしそれでは、立体を回転したときに同じになるものが出てくる訳です。つまり数え過ぎてしまっているので、そこから立体の「回転対称性」に着目して、数え過ぎてしまっているものを引いてやる、というのが問４と問５についてこちらで用意している解答方針です。 まぁこの辺までは考え付いている人も居るかと思いますが、ではどのような「回転対称性」があるのか？というところは、やや知識が必要なのかもしれません。 具体的に、問４の正十二面体の回転対称性についてだけ説明することにします。串を１本持ってきて立体にぐさりと突き刺し、その串を軸として立体をぐるぐる回すようなイメージを持って以下を読んで頂けると良いかと思います。勿論どこに突き刺しても360°回すと元の立体に戻ってしまいますが、それは回転対称性には含めません。 まず１つ目。正十二面体の頂点に串を刺して、立体の中心を通って反対側の頂点まで串を貫通させます。この串を軸に120°ぐるりと立体を回転させると元の立体と重なるのが分かるでしょうか。 ２つ目。正十二面体の１つの面の中央に串を刺し、立体の中心を通って反対側の面の中央まで串を貫通させます。この串を軸に72°立体を回転させると元の立体と重なります。 ３つ目。正十二面体の１つの辺の中心に串を刺し、立体の中心を通って反対側の辺の中心まで串を貫通させます。この串を軸に180°立体を回転させると元の立体と重なります。 この３パターン以外に回転操作が出来るような軸は存在しません。数学的な保証もあります。
ちょいと個人的な話ですが、この問題の出題の裏には「群論」たるものがあります。おそらく、化学や物性物理学をそれなりに勉強している人なら知っている話でしょう。数学の人のことはあまり分からないのですが、代数学を専門としている人ならもっと詳しいかもしれません。
どんなものかと言うと、分子の電子軌道や振動モードを考えるときに、分子の対称性が重要になってくることがまぁそれなりにある訳です。例えば「水分子」を考えてみますと、∠HOHの角ニ等分線になるように酸素原子に串をつき刺し、180°ぐるりと回転させると２つの水素原子の位置が入れ替わって、元の水分子と一致することになります。このことを小難しく言うと、水分子は対称要素C2を持っている、とかそんな風に言ったりする訳です。 また「点群」というのものがあって、全ての分子をこの点群によって分類することが出来ることになっています。例えば、水分子なら C2v、アンモニアなら C3v、二酸化炭素は D∞h、メタンはTd、何も対称性がなければ C1 という具合です。(この辺、「大学の授業で覚えさせられたわー  自分が興味ある分子なんぞほとんど C1なんっすけど  」とか思ってた人は僕とお友達になってくれませんか？)そして出題している５つの正多面体も当然、点群によって分類出来て、正四面体はTd、正六面体と正八面体は Oh、正十二面体と正二十面体は Ih という感じになります。 一応、そんなことを知らなくても解けるように作ったつもりですが、どのような「回転対称性」があるかの判断は難しい気がしてきたので、No.1 にヒントを提示することにしてみました。逆に、群論を知っていたからと言ってすぐに解けるような問題でもないと思うのですが、群論の知識を前提に使うと一瞬で解けるとかいう方法があれば教えて頂けると幸いです。 
Jacob
答えは僕の用意しているものと同じなのですが、若干、式の意味が良く解らないでおります。正多面体の色の塗り方のうち、回転対称性が残るような塗り方を考えているのだと思いますが、何故その式で答えが出てくるのか「？」となっているので､暇があれば少し説明をつけて頂けると幸いです。 
Jacob
ほぉほぉ、「バーンサイドの定理」というのは初めて聞きました。
ちなみに問4・問5について僕の方法は、正面体の回転点群「I」をその部分群「C1, C2, C3, C5, D2, D3, D5」の7つに分け、それぞれの点群に属する色の塗り方の数を求める、というものです。 (群Cn は n 回回転軸 を 1 つだけ持ち、群Dn は n 回回転軸とこれに直交する 180°回転軸を n 本持つ。) 本質的にはあまり変わらないのだと思いますが、No >>4 の回答で不思議だなぁと思ったのは、部分群を考えなくても答えが出てしまっているところです。「バーンサイドの定理」を調べてみたところ、対称操作である「E, 15C2, 10C3, 10C3^2, 6C5, 6C5^2, 6C5^3, 6C5^4」に対して不変であるものを求めれば良い、ということでしょうか。 (操作E は恒等操作。操作Cn^k は 2πk/n(rad) 回転させる操作。 ) 
Jacob
なるほど、確かに ＞「ある立体回転操作に着目して」 数えていく方がかなり楽になるようです。
判定基準にあるように、全問正解＋僕の用意しているものよりも効率的な解法、ということで星メダルを贈呈したいと思います！
あんまり引き延ばすと、僕自身が答えを忘れそうなので、そろそろ答えを纏めていきます。
問１：１通り 問２：６通り 問３：２４通り 問４：６００通り 問５：３１５８通り 今は大雑把に問４と問５の方針を書くと、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 問４ 対称群|位数|回転を考えない|回転を考える| Ｄ５ |１０| ０| ０| Ｄ３ | ６| ０| ０| Ｄ２ | ４| ３０| ２| Ｃ５ | ５| ０| ０| Ｃ３ | ３| ０| ０| Ｃ２ | ２| １２６０| ４２| Ｃ１ | １| ３３３６０| ５５６| 合計 | | ３４６５０| ６００| 手順： 回転を考えない場合の合計を求める。12C4*8C4 ＝ 34650 ↓↓↓ D5, D3, D2, C5, C3, C2 群に属する色の塗り方を求める。 正十二面体群 I の位数は 60 であって、ここでは次の関係が成り立つ。 [回転を考える場合の総数]×60/[対称群の位数]＝[回転を考えない場合の総数] C2：(6C2*4C2 - 6)/2 ＝ 42 ↓↓↓ 回転を考えない場合の、対称性のない(C1)塗り方を求める。 34650 - (30 + 1260) ＝ 33360 ↓↓↓ 回転を考える場合の、対称性のない(C1)塗り方を求め、全ての対称群の場合の数を足す。 33360/60 ＝ 556 2 + 42 + 556 ＝ 600 // ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 問５ 対称群|位数|回転を考えない|回転を考える| Ｄ５ |１０| １２| ２| Ｄ３ | ６| ０| ０| Ｄ２ | ４| ０| ０| Ｃ５ | ５| ２４| ２| Ｃ３ | ３| ４００| ２０| Ｃ２ | ２| ３７２０| １２４| Ｃ１ | １| １８０６００| ３０１０| 合計 | | １８４７５６| ３１５８| C3：6C3＝20 C2：(10C5 - 4)/2 ＝ 124 |
問題へジャンプ