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 二人の子供
難易度：★★★★
 ゲーデル
2010/08/24 21:00
大変お久しぶりです
 。ちょっとクイズどころじゃないくらい忙しくなって、出題した問題の回答するのをほったらかしにしたままにしていて大変申し訳ありませんでした  最近になって、ようやく時間が少し取れはじめたので、出題した問題の解答などは、 「少し時間をおいて」公開します  今から考え始めてもまだ間に合いますので、 まだチャレンジしてくださる方は、是非チャレンジしてください  では、とりあえず新たに確率の問題を一問。 これは、「有名問題を捻った問題で、またまた有名問題になった問題」を考える問題 （なんのこっちゃ  ）です  ============================================================================= -- <問題のための問題: P4P> ------------------------------------------------ あるお爺さんがこんなことを言っていた。 「ワシには子供が二人おってな、一人は男で、月曜日生まれなんじゃ。」さて、このお爺さんの言っていることが正しいとして、 子供が二人とも男性である確率を考えてください。 ＊簡単のため、出生率は、男女の性別や曜日の違いによって、差がないものとする。 --------------------------------------------------------------------------- -- ＜問題のための解答例１: A4P1＞ ------------------------------------------ これは 13/27 となります。 二人の子供をA,Bとします。 以下、男:0 女:1 月:0,火:1,...,日:6 のような略号を使って、 A,Bの「性別」及び「何曜日生まれか」を、４ケタの数字を用いて表します。 例えば、 0315 → Aが男(0)で、木曜(3)生まれ。Bが女(1)で、土曜(5)生まれ。 1010 → Aが女(1)で、月曜(0)生まれ。Bが女(1)で、月曜(0)生まれ。 さて、問題文の前提から、この４ケタの数字によって「一意に」表現できる事象は、 それぞれ同じ確率で起きることが言えます。 （例えば、「0315」の確率と、「1010」の確率は同じです。） これらの事象は全体で、2 * 7 * 2 * 7 = 196 通り。 この中で、お爺さんの発言が正しくなる（一人は男で、月曜日生まれ）のは、 01XX か XX01 のパターンで、0101の重複パターンに気を付けて、2*7+2*7-1 = 27 通り。 （これが、お爺さんの発言を考慮した場合の母集合みたいなもの） さて、この27通りの中で、二人とも男のパターンは0X0Xで、 0100,0101,0102,0103,0104,0105,0106, 0001,0201,0301,0401,0501,0601 の13通り。(7+7-1=13) 従って、 13/27 となります。 ---------------------------------------------------------------------------- -- ＜問題のための解答例２: A4P2＞ ------------------------------------------ ベイズの定理使えば簡単。 A:少なくとも一人の子供が、「男」かつ「月曜生まれ」 B:二人の子供がどちらも男 とすると、求める確率はP(B|A)である。 P(B|A) = P(A|B)*P(B)/P(A) ={(7+7-1)/7*7} * (1/4) / {(2*7+2*7-1)/2*7*2*7} = (13*196)/(49*4*27) = 13/27 ---------------------------------------------------------------------------- さて、ここからが本当の問題です。 あなたはこの一連の P4P, A4P1, A4P2 の流れに、問題がある気がしてなりません。 極めて論理的にイチャモンを付けて下さい。 （３つのそれぞれ全てにイチャモン付ける必要はありません。） ============================================================================ ちなみに、この問題は、皆で議論した方が熱い話題だと判断しましたので、 「囁きなし」にします。一応私と同じ切り口で、論理的に説明をされた方には 「正解」を出しますが、他の評価は、適当なものだと思ってください。  ＊問題自体の質問も受け付けますので、何かあれば遠慮なく質問してください ＊他の回答者の回答に対して、疑問や、納得いかないことがあると思えば、 （あくまでこの問題では）どしどしレスして下さい。 ＊★５なのに瞬殺されそうな気配・・・  ：瞬殺されたので、★4 に変更:
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回答募集は終了しました。
出先からなので、簡単に。
0101を他と同列にしたのが誤り。 このケースは兄と弟のどちらを選んでもお爺さんのセリフは変わらないので、他のケースの2倍にすべき。 
ゲーデル
お久しぶりです。
ふふ 実はそこは問題ではないんです 。逆に、同列に扱わないと、問題が起こったり起こらなかったり・・・（ごにょごにょ・・・ 結論から言えば、A4P1の、 ＞（例えば、「0315」の確率と、「1010」の確率は同じです。） の部分は完璧なまでに正しいです 。「0101」の確率も同じです！
---<問題のための問題: P4P2>----------
あるお爺さんがこんなことを言っていた。 「ワシには子供が二人おるんじゃ」 お爺さんに聞きました。 「あなたの子供のうち、男で月曜日生まれの子はいますか？」 お爺さんは答えました。 「ああ、居るよ」 さて、このお爺さんの言っていることが正しいとして、 子供が二人とも男性である確率を考えてください。 ---<P4P2終わり>---------- 上記の問題P4P2に対する解答例としては、A4P1及びA4P2は正しい。しかし、P4PとP4P2は等価な問題ではない。 続きます。
P4Pに立ち戻ります。二人の子供をA,Bとします。お爺さんがAの性別曜日を話すか、Bの性別曜日を話すかは半々の確率の気まぐれで決めると仮定します。
例として0112のケースを考えます。 このとき、お爺さんの正しい発言として考えられるのは2通りあります。 「ワシには子供が二人おってな。一人は男で、月曜日生まれなんじゃ。」 「ワシには子供が二人おってな。一人は女で、火曜日生まれなんじゃ。」 同様に、0401のケースを考えます。 このとき、お爺さんの正しい発言として考えられるのは2通りあります。 「ワシには子供が二人おってな。一人は男で、木曜日生まれなんじゃ。」 「ワシには子供が二人おってな。一人は男で、月曜日生まれなんじゃ。」 一方、0101のケースを考えます。 このとき、お爺さんの正しい発言として考えられるのは1通りのみです。 「ワシには子供が二人おってな。一人は男で、月曜日生まれなんじゃ。」 つまり、「ワシには子供が二人おってな。一人は男で、月曜日生まれなんじゃ。」という発言になる場合の数としては、全ての事象(2*7*2*7*2=392)のうち、 0100でAのことを話す 0101でAのことを話す 0102でAのことを話す 0103でAのことを話す 0104でAのことを話す 0105でAのことを話す 0106でAのことを話す 0110でAのことを話す 0111でAのことを話す 0112でAのことを話す 0113でAのことを話す 0114でAのことを話す 0115でAのことを話す 0116でAのことを話す 0001でBのことを話す 0101でBのことを話す 0201でBのことを話す 0301でBのことを話す 0401でBのことを話す 0501でBのことを話す 0601でBのことを話す 1001でBのことを話す 1101でBのことを話す 1201でBのことを話す 1301でBのことを話す 1401でBのことを話す 1501でBのことを話す 1601でBのことを話す 上記の28通り。そのうち、両方男は14通り。 上記より確率は1/2。 また、ベイズの定理に当てはめると A:お爺さんが「ワシには子供が二人おってな。一人は男で、木曜日生まれなんじゃ。」という。 B:二人の子供がどちらも男 P(A)=(2*2*7)/(2*7*2*7*2) P(B)=(1/4) P(A|B)=(7+7)/(7*7*2) P(B|A)=P(A|B)*P(B)/P(A) =(7+7)/(7*7*2)*(1/4)/{(2*2*7)/(2*7*2*7*2)} =1/2 よって、確率は1/2。
お爺さんが「ワシには子供が二人おってな、一人は男で、月曜日生まれなんじゃ。」と言う確率(P4P)
と お爺さんの少なくとも一人の子供が、「男」かつ「月曜生まれ」である確率(P4P2) は異なるものであるというのがポイントだと思います。 後者で計算したA4P1,A4P2は、P4P2の正しい答えにはなっていますが、P4Pの正しい答えにはなっていないということだと思います。 
ゲーデル
>>2 >>3 の回答もまとめてここでしますね。
 >>2のP4P2ですが、これが本来の問題(P4P)でしたら、何も問題なかったんですよね！ 「P4Pをこのようにすべき」という模範解答であります 次に、>>3の最初の２行の部分を見るからに、（多分直観的に）問題の本質を完璧に 見抜かれていて、本当に素晴らしいです。  >>4でご指摘されたポイント（結論）は、まさしくその通りです。 よって、本当は正解にしたかったのですが、 少しややこしい勘違いをなさっている部分がありますので「惜しい」とさせてもらいます 実は、問題P4Pにおいて、>>3の仮定 「お爺さんがAの性別曜日を話すか、Bの性別曜日を話すかは半々の確率で決める」 ですと、>>3 ではなく、A4P1,A4P2 が正しい計算となります。 具体的にどこで間違っているかというと、カウントしている部分です。 >>3でカウントしている事象なんですが、「事後確率」としては、 「0101でAのことを話す」と「0101でBのことを話す」の確率が、 そのほかの事象の確率（例えば0100でAのことを話す）の1/2倍であるため、 確率が均等でない事象になります。 よって、カウントして確率を求めるのは間違いとなります。 結果的には「0100をダブルカウントしている」ことと同じです。 また、ベイズの定理の部分ですが、 ＞A:お爺さんが「ワシには〜"月"曜日生まれなんじゃ。」という。 という部分がおかしいです。 （そもそもその設定なら、実際お爺さんは「〜」と言ったわけで、 P(A)=1 になります）
各パターンにおいてお爺さんがあの発言をする確率が与えられていないため計算不能
というのが正しい見解と思われます。 お爺さんがどのような発言をするかのルールによって確率は変わります。 二人の子供をA,Bとして、いくつか具体的なケースを書いてみますと、 ケース1 A,Bともに男のときは、「二人とも男で〜」と発言する。 男が一人だけのときは、「一人は男で○曜生まれ」と発言。 女が二人のときは、「二人とも女で〜」と発言。 ケース2 必ずAについての発言をする。 ケース3 1/2の確率でAまたはBについての発言をする。 ケース4 A,Bが男で、生まれた曜日が異なり、片方が月曜生まれのときだけあの発言をする。 その他の場合は、二人の性別、曜日を述べる。 ケース1の場合は確率0、ケース4の場合は確率1となります。 要するに、情報不足で決められないということです。 
ゲーデル
まさに正解です。
なんか答えをそのまま言われた気がしないでもない・・・ 仰っているように、 ケース１では確率０ ケース４では確率１ になります。 ちなみに、 ケース２では確率1/2 ケース３では確率13/27 です。 もちろん、どれも既知情報として、が条件です。 追記：-------------- ケース４が確率１なのは間違いないですが、 ケース４’ 「A,Bが共に男で、少なくとも片方が月曜生まれの時だけP4Pの発言をし、 その他の場合は、二人の性別のみを答える。」 でも確率１です。（ケース４を見て頭を悩ますかもしれない人用） どうでもよかった？
＜解答＞
P4P では「お爺さんの発言がどのような基準で発せられたか」の情報が不足して いるため、問題として不完全です。 A4P1,A4P2 は共に、ある条件下においては正しい解答になるのですが、 その条件を明示していないため、解答としては不完全なものとなります。 A4P1,A4P2 が暗黙の裡に設定していた条件とは、 １．爺さんが、必ず性別と誕生日の曜日を知らせる。 ２．爺さんが二人の子供のうち、どちらについて話すかは、同じ確率とする。 ３．上記１．２．については既知の条件とする。 というものです。（正確には、もう少しだけ緩い条件でもいい） これらの条件は、情報の足りない問題に対して付加する情報としては、 ある意味妥当な条件ではありますが、問題文にない条件を付与する以上、 何か一言は明記すべき内容です。 実際、１．２．の条件が異なる場合、P4Pのお爺さんの発言が正しくても、 子供二人が男である確率は、０〜１の間を変動します。 ＜補足＞ モンティーホール問題も、大きく騒ぎになったのには、これに似た状況が あったみたいです。 モンティーホール問題で、騒動の発端になった記事中の 【記事にするための問題】が不完全だったんですね。 で、その【問題】の内容自体が、勘違いしやすい事後確率の問題だったので、 ・問題の内容自体の解法についての議論 ・【記事にするための問題】が不完全であることに関する議論 がごっちゃになって、数学者も巻き込んでの大騒ぎになったんだろうと 勝手に推測してます。 [元ネタ] http://sciencenews.org/view/generic/id/60598/title/When_intuition_and_math_probably_look_wrong http://news.bbc.co.uk/2/hi/programmes/more_or_less/8735812.stm 原文「I have two children, one of whom is a son born on a Tuesday. What is the probability that I have two boys?」←典型的な不完全な問題の例。 拙訳「私には二人の子供がいて、そのうちの一人は火曜生まれの息子だ。 私に２人の息子がいる確率はいくつだろうか？」 読む限り「このクイズ作者は、話題性のために、狙ってやってるのではないか？」 と、疑いたくなるのは秘密 ------------------------------------------------------- この問題は難しい部分も多く、納得いかない人も結構いるかと思います。 一応解答は示しましたが、色々議論すべき余地があると思いますので、 ロックするまでの期間を長めに取ろうと思っています。（１か月くらい？  ）なので、意見があれば、気軽に書き込んでください。 私も理解が不十分な点もあるかもしれないのでご了承を
＞「ワシには子供が二人おってな、一人は男で、月曜日生まれなんじゃ。」
不完全であるのには同意。モンティホールも前提条件がないと単なる心理戦ですね。 ただ日本語を母国語にする方にこういうニュアンスのこと言われたら実世界ではかなりの確率でもう一人は女のような・・・。 仮に二人とも男なら子供→息子という可能性もありますし、 一人は男という変な言い回しはまずしません。 私には子供が１０人いて、その中の一人は男で、月曜日生まれです。 なんか言われた日には僕ならあと九人は女だと思っちゃいます。 
ゲーデル
日本語のニュアンスから言うと、そう（もう一人は女）ですよね
その場合は２人が男である確率は０になっちゃいます （だから、爺さんが何を意図していったのかの情報が不足してる、 というわけです ）この問題は、日本のブログなんかでも、結構色んな解答が見つかります。 （「子供 二人 確率 火曜」などのキーワードでググると、色々見つかります。） ただ、問題文に情報が不足していることを自覚していない人も多いため、 不毛な論戦（「火曜日っていう情報は単なる付加情報！」「いや、違う！」等） を繰り広げていることも結構あるみたいです。
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