茶色のコーギーと、黒いコーギーが居て・・・。

なんだか、自信ないです・・・

うーん 　小学校では異分母同士は足し算できません。通分しましょう。
ぐらいしか習っていませんね。

　濃度40%の食塩水と濃度60%の食塩水を混ぜると混合溶液の濃度がどうなるか
の逆の説明をすれば良いのかな。

小学校の時の長さでの説明がわかりやすかったです

割合の概念をきちんと理解する小学生ってどれくらいいるんですかね？
足し算や割り算を一緒にするとか分けるとか教えるから混乱するんですよね

分かりにくいかもしれないが許せ！！

こうかな？

私は2/1と3/1は、ケーキの大きさで習いました
・・・ウケ狙いでなく、本当に本当の話です

脱線ですが、少数の×算は小さくなる・割り算は大きくなる…というのは、単にそれまでの概念と違っていて、それが面白くて計算にはまりました

小学生時代・・・記憶にございません

どうでしょう？

oimさんと同じく、ケーキで習った派です 。
数学は苦手ですが、算数は好きだったので
小学生に戻ったつもりで　マジメに答えてみます 。

>>9は、
「１／２　＋　１／３　＝　２／５」で、
おかしくないんじゃない方向の囁きです

分数は１つではない･･･

私が今年、子ども達に教えることになるのは、○分数。
（何故だぁ〜！！この段階で分数て意味分からん）
ウォッホン･･･失礼、取り乱しました･･･これは基準が不変的なものでなければなりません。
１／２＋１／３…
件の金魚の問題で説明は出来ないので、別の例にします。

同じ（体積）のガラス容器が２つありました。
一方には、体積が２等分となるように目盛りを付け、その１つ目まで水を入れました。
これが１／２です。
もう一方は、体積が３等分となるように目盛りを付け、その１つ目まで水を入れました。
これが１／３です。

さて、ここで両者を足す場合･･･式は１／２＋１／３となります。

分子となっている目盛りのところまで入った「水」は足せますが、目盛りが増えるわけではありません。分母である２つのガラス容器を重ねると、１つのガラス容器になる･･･そんな魔法は起きません。
１／２の容器の水を１／３に移し変えても、３等分した目盛りはそのままです。逆もまた然り。
（５等分された目盛りの付いた容器に変身したりはしないのです）
答えを知るためには、１／２と１／３の両方に共通する目盛りを施した新たな同型の容器を用意
しなければなりません。

１／２を表し、１／３も表すことが出来るように様々な目盛りを施してみた結果･･･６等分に目盛りを
付けた容器に決まりました。この容器に１／２の水を移してみると３つ目まで水は入りました。（３／６）１／３の水は、２つ目まで入りました。（２／６）
この新たな容器を用意することがいわゆる通分。

その容器に、両方の水を合わせ入れると５つ目まで水が入りました。６等分に目盛りを付けた容器の
５本目まで水が入ったので･･･５／６です。
よって、１／２＋１／３＝３／６＋２／６＝５／６
となるわけです。

上記では本問に答えたことにはならないと思いますが、思考の一助になれば幸いです。
１．５リットルボトルの･･･１／２飲む　と　１／２リットル飲む　は　同じ量を飲んではいない。

↓ハッハッハッ…これは、此処用の説明です。子どもに教える時はもっと単純で簡素なものに
なるでしょう。１／２リットルなんてとんでもない。リットル・デシリットル・ミリリットルというかさの
単位を辛うじて覚え、１デシリットル＝１００ミリリットル、１リットル＝１０デシリットルの理解が
怪しい子もいるのに混乱するだけです。

小３なんて、やっと割り算を覚える学年ですよ。割り算の筆算も、１÷２もやらない
ような段階で、分数や小数を扱おうなんて何を考えているのやら…

ちょっと質問

「一緒にする」って、子供を生ませるって事ですか？
同じ水槽に入れるということですか？

後者の場合は、「一匹」では無くなるのですが・・・

そう言われれば、確かに

「基本が一番難しい」

のかもしれないですね。

同じような事を何度も書いてもしょうがない気もしますが、問題文を読んで思いついた正しい一例を。

１／２＋１／３
＝３／６＋２／６
＝５／６

長さが、６(の倍数)ｃｍ の羊羹があった。【ここでは６ｃｍとする。】

１つを１／２(３ｃｍ)に切る。

もう１つを１／３(２ｃｍ)に切る。

合わせると、５ｃｍになり、もとの５／６になる。


今回のような例を出されると、全く合ってないとは言いきれなくて困りますね。

　せっかく、囁きコメントをいただいたのに、スルーしてるような扱いになってるものもありますが、
　のちほど、まとめてコメントいたします。

　囁き外で、熱く説明されてる回答者のみなさんもいらっしゃるので、
あとからのぞかれた方は、参考にしてください。

　けっして、ひっかけて楽しもう、などという出題ではありません。
ここに来られる小中学生や、関係者の方々が、
　「うっかり見逃していたことを、改めて思い出した」ということになれば、一番です。

　「基本が一番難しい」・続編も考えてます。

　　しかし、出題で引用した、「某・質問サイト」の質問者。
　　それで納得できるんなら、最初っから、授業で納得できるでしょ。
　　（単に、目先の宿題がクリアできただけ・・・？）

分数は「全体（分母）に対して注目する部分（分子）の割合」を表わしたものである。というのが、きちんと理解できているかということだと思います。

水や羊羹では説明できて、金魚では説明できないのは、何故だろうか？

↓
水槽１個の中の金魚３匹の内の１匹なら1/3と表現しても切り身にはならない。
５匹しかいない金魚を「6分の何匹」と表現するほうが変と思わなくもなく・・・

↑
「１／３の水」「１／３の羊羹」は、
それでも「水」であり「羊羹」である筈ですが

「１／３の金魚」とは、
三枚におろした「金魚の切り身」に変わっているから 。

ちゃんと発音すればあってると思う。
１/２：にふんのいち（２分のうちの１秒でも１分でも好きなほう）
１/３：さんぷんのいち（同上）

なので、　１/２＋１/３（２分のうちの１+３分のうちの１）＝２/５（５分のうちの２）

きんぎょとおなじか。

赤い金魚と黒い金魚がいる水槽があって、「２匹のうち１匹が赤」の金魚と、「３匹のうち１匹が赤」の金魚を一緒にしたら、「５匹のうち２匹が赤」の金魚になる。

この文章を式にすると （ 1/5＋0/5 ）＋（ 1/5＋0/5 ）＝2/5　になるのではないでしょうか。

つまり分数で割合を表すのであれば、全体（分数の場合は１）が何なのかを間違えると、とんでもないことになりますね。

たとえば、イチローは３回に１回の割合でヒットを打ち、松井は２００打席で６０本のヒットを打った。二人合わせて２０３打数６１安打・・・と同じ意味です。
１ ・ ２ ・ ３ ・ ５ ・ ６。 この５つの数字の計算は何やら勘違いを招きやすい何かがありそうです。


へへへ。駄目かなだ。

0/5。 赤くない金魚を 「 赤い金魚としてカウントできないので0 」 としてしまいました。
（ 1/5＋1/5 ）＋（ 1/5＋2/5 ）＝2/5　＋他の色の金魚3匹 ・・・ の意味です。

式が全然違ってたので修正しました！

↑
０／５というのは何処から？

小学校で分数を教えない…そんな時代もあったとか…
囁き外で熱く語る回答者その１です。

１／２＋１／３＝５／６と計算は出来ても、それを説明することは難しいですよね。
分数には２種類ありまして…１つは、Ｎｏ．１２では伏せてだらだらと書いた『量分数』
もう１つは、『分割分数』です。
量分数の問題でも分割分数の問題でも式に表すと
１／２＋１／３＝５／６
になります。

割り算にも分数同様に２種類あって、『等分除』（同じ数ずつ分ける）と『包含除』（○個ずつ分ける）
です。
これも等分除、包含除の別を問わず式に表すと同じ式になります。
等：１２個のケーキを３人に同じ数ずつ分けると１人何個もらえるでしょう？
　　　１２÷３＝４　Ａ．４個
包：１２個のケーキを３こずつ分けると何人に分けられるでしょう？
　　　１２÷３＝４　Ａ．４人

分数の時と違い、割り算における２種類の違いは教わったと思います。
（式は同じだけど、求めるものが違うんだよ〜程度ですが）

私たちが教わった分数は、恐らく…量分数だけです。いえ、分割分数も教わっているのですが、
きっちり細かく解説してくれたのは量分数で、両者の明確な違いまでは教えてもらっていないはず。
先述の通り、式は同じで解き方も通分して〜と同じなのですから、簡単に説明出来る方だけ
説明すれば、【分数の計算の型】が出来上がり、後は機械的にやるだけも答えは求められる。

分割分数の説明を何故しないのかというと…まさに、本問のようなややこしいことになるから…
ではないでしょうか。
これをきっちり説明しないから、あんな理屈をこねる高校生が現れた…とも言えるのですが。

分割分数の問いを、量分数の概念で説明しようとしてもなかなか出来ないでしょう。

(1)「金魚を一緒にすること」は，比率の足し算ではなく，金魚の頭数の足し算で表せる．

これをキッチリと示すことが大事でしょう．
赤い金魚の比率を計算するのは，その後でお好きなように．

(2) 一緒にした後の比率の計算は，1/2 x 2/5 + 1/3 x 3/5 = 2/5 でできる．

発展話題として，個々の部分の意味とともに，正しい比率の計算法を教えるのもありかと．

熱い回答もてんこ盛りですので、そろそろ答え公開しようと思いますが、
まだボケ足りない、という方がいらっしゃったら、お早めに

某キーワードで「かってに君」も反応するはずです

キーワード 。

いじわるに　いじわるさんを　たしたら　ふたりの　わるが　GO

面白い問題ですね。こういうの結構好きかも…
相変わらずヨドンな私は、問題文を見て2/5が正解だと思ってしまいました

分数の足し算において分母を足すという発想がいけないのでしょうが、
分からない人に理解してもらえるように説明するのは至難の業ですね
"1÷2＋1÷3" が "2÷5" にはならないでしょ！とか始めてしまうとハマっていきます
Ｍちゃん（分からない人 ）で苦労しました
もっと基本で、1＋1はどうして2なの？　なんて質問されたらどうしましょの世界です。
そういう時は、『昔、偉い人がそうすることに決めたのよ〜ん♪』
と逃げてきたpontaです

某キーワードが分かんないので言いたいこと言って退散します！オ〜イっ

何を想像したんだ…

夏休み前に、しっかり復習したい方もいらっしゃるでしょうから、解説。
（お子さんに聞かれて困る可能性のある親御さんも）

基本は、
分数というより、たしざんの根本です。

　まず、
＞「２匹のうち１匹が赤」の金魚と、　「３匹のうち１匹が赤」の金魚を一緒にしたら、
　の
「２匹のうち１匹が赤」の金魚　というのは、「量」ではない（割合）から足し算できない。

　分数でなくても、「３割打者が２人いたら、あわせて６割」
防御率１点（＝９イニングスあたり平均１点取られる）のピッチャーを継投したら防御率２点
・・・　　になるはずがない。

　よくある問題で
「同じ道を、行きは４０ｋｍ/ｈ、帰りは６０ｋｍ/ｈで走りました。　平均時速はいくらでしょう」
　という時に、　４０ｋｍ/ｈ　と６０ｋｍ/ｈを　「足し算」したらいけないのと同じです。

> ITEMAE さん

No.24 (2) のように，割合の割合は足し算できる場合があります．

平均時速も，時間の割合を掛けて 40 x 60/100 + 60 x 40/100 = 48 です．
40km/h x 60/100 = 24km/h のように，足される値は時速と同じ km/h という
単位をもっていますから，ITEMAE さんのおっしゃる「量ではない」ものです．
それでも足して良く，結果として正しい答が出ます．

また，「150km/h の速球と 110km/h のチェンジアップを半々で投げる投手が
います．平均球速はいくらでしょう」という問題ならば，通常のセンスでは，
答として (150 + 110)/2 = 130km/h が適当でしょう．

No.24 (1) で言いましたように，「量でないから加算できない」というより，
根本的には「金魚を一緒にすることは比率の加算で表現できない」にあります．

「出題に直接出てこない数値を使ってはいけない」と言われたら，大抵の問題は解け
なくなります．「走っている間の 60% は 40 km/h で走ることになる」と考えてはい
けない，という方がアウトでしょう．

もちろん，24km/h は 40km/h の 60% の速度という意味です．40km ある道の 60%
と 60km ある道の 40% を走ったら結局何 km を走ったことになるか，という問いに，
40 x 60/100 + 60 x 40/100 = 24 + 24 = 48km と答えるのと何の変わりもありません．

60km/h で走ってる電車の中を 20km/h で走る場合には足し算ができます，と言って
おられるように，「量でないから加算できない」のではないのです．「特殊な場合」
は良くて，「普通」はダメ，というのは論外でしょう．

ま，km/h という単位を持つことから，速度も立派な「量」なんですが，そのことは
さておくことにしても，つまりは，加算を用いた式の意味が意図した意味と一致して
いるか，が問題なのです．

「２分の１」　というと、イコール「２つのうちの１つ」しか思いつかない小学生、
というのが、よくいます。

　それも分数の一つではあるのですが、（割合分数）

１／２　たす　１／３　というたしざんが出てきた段階で、
「これは量分数である」と考えなくてはなりません。

すなわち、１／２リットルだとか、１／２時間だとか。

　（回答者さんの中に、２匹のうちの１匹が赤い金魚・・を前提に説明されてる方も何人かいらっしゃいますが、
　　そもそも、金魚は「この高校生が持ち出した話題」であって、
　　この出題で、金魚を足したらどうなるか、　は問うていません。


学力テストの４択問題なんかで理解度を計るのがそもそもの間違いで、
ほんとうに分数の基礎が理解されているかを調べようと思ったら、

　たとえば、
「１／２　＋　１／３　の式を使って答える問題文を作りなさい」
という出題。

　こういうのを宿題にしておいて、　あとで、提出された問題からチョイスして
「次の宿題」のネタにす出す。

　（スカタンな問題でもそのまま出す。）
　　スカタンな問題を作る生徒も、それに対して「計算式は同じだから」と、同じ解き方をしてる生徒も、
どっちも、「理解不足」に違いない。

　どこかから丸写しで、（どこかの有名クイズみたいに）同じ問題が並んでたりするのも、
まあ、「そういうことだな」と思ってたらいいかな・・・。 　

シツコイようですが，速度も量なのです．量でないものに単位はつきません．
ご自分の感覚に合わないからといって，無理な議論をされるているように思います．

たとえば，運動を考えるとき最も基本的なもののひとつである運動量 (質量x速度) を
考えましょう．合計が常に等しいことを意味する「運動量保存則」があるように，
この「量」は足されるものです．

しかし，次元は ML/T であり，質量かける長さを時間で割っていますから，ITEMAE
さんのおっしゃる意味では「割合」です．

同じようにエネルギーも ML²/T² という次元を持ち，運動量に速度を掛けた形になっ
ています．これも「割合」であり，「エネルギー保存則」があるように，足されるも
のです．

「力」も足すことに異存はないと思いますが，その次元は ML/T² ですから，運動量を
時間で割った「割合」です．

結局，「基本が一番難しい」ということなのでしょう．

「割合分数 (分割分数)」（足せない分数）と「量分数」（足せる分数）という，訳の分からないものを持ち出すことに疑問を感じる，ということです．大変，学習塾的な発想と思いますし，そもそもどうやって区別するのでしょうか．

「割合」として導入されたものが「量」としても意味があること，「量」と思っていたものが「割合」として再認識されることは，No.34 で挙げた例で明らかです．

足すことができるのが「量分数」で，「量分数」だから足すことができる，では自己撞着です．

私が主張していることをもう一度書けば，「数式が表現している意味と意図した意味が一致しているか」が問題であるということです．速度の足し算の例（平均時速は単純に足して２で割ってはダメ，電車の中の駆け足はＯＫ）は，足し算が意図した意味を表していないか，いるか，の違いがあるということです．高校生の間違いも，足してはいけないものを足したから悪いのではなく，それでは意図した結果が得られないからダメなのです．

これは「割合」これは「量」というラベルを貼ること自体に，社会問題化している受験テク「考えることの放棄あるいは禁止」があるように感じます．速度には「割合」というラベルを貼れ．そして，「割合」が入っている問題が出たら，教えたパターンのように扱え．速度を「量」として扱う問題が出るのは「例外的」だから，受験には捨てて構わない．こういう発想でないことを祈ります．

>>17 の囁き公開してほしいです。（>>24の(2)と同じではありますが）

それから他の方の囁きも公開してほしいです。

割合は量で無いから足せないとするなら、
１／２　と　１／３　は足せないのに
３／６　＋　２／６　は、なぜ、足せるの？
通分すると量になるの？
って、ことになりませんか？

>>30へ
>>分数でなくても、「３割打者が２人いたら、あわせて６割」
>>防御率１点（＝９イニングスあたり平均１点取られる）のピッチャーを継投したら防御率２点
>>・・・　　になるはずがない。

とのことですが、
金魚のと同じ考えでも、打率６割や防御率２点にはならないと思います。
金魚の場合、分母の変化も明示されてるので、
３／１０　＋　３／１０　＝　６／２０
１／９　＋　１／９　＝　２／１８
と、表されるので、現実を表現できてます。
なので、
金魚の考え方を間違ってるとする例として、
「分数でなくても、「３割打者が２人いたら、あわせて６割」
防御率１点（＝９イニングスあたり平均１点取られる）のピッチャーを継投したら防御率２点
・・・　　になるはずがない。」
は、適切では無い様な気がします。

「状況によっては、
１／２　＋　１／３　＝　２／５が
正しい場合もある」ってことを示しているだけなので、
某現役高校生の理屈はおかしくない
とか思ったのですがどうですかね？

しばらく混乱しながら眺めていたのですが、少し考えが纏まってきたのでコメントさせて頂きます。

端的に言えば、個人的にはnn)/さんと同意見で、「割合は足せない」「量ではない」という説明はびみょいと思います。

このような例はどうでしょうか？「300人の生徒が学力テストを受け、全体の1/3の生徒が81点以上の点数を取り、また1/2の生徒が60〜80点であった。このとき、60点以上の点数を取った生徒の割合を求めよ。」この問題を考えた場合に、1/2＋1/3＝5/6、だから60点以上の点数を取った生徒は全体の5/6である。などと割合を足して計算することは何にも間違いはないように思うのですが。

それから、「割合と量」は全くの別物なのでしょうか？ここもITEMAEさんの話を聞いてて良く解らなかったのですが。例えば「1/2リットル」というものを考えたときに、これは確かに500mL分の量だと言えます、けれどもそれは同時に「1リットル」を基準に置いたときの1/2の割合だとも言えのではないかと。

大事なところは、nn)/さんの言うように、この高校生の主張に反証するためには「数式の表現と、意図した意味が一致していない。」ことを示すべきだと思うのです。具体的に言えば、「2匹のうち1匹が赤」の金魚と「3匹のうち1匹が赤」の金魚を一緒にしたときの、赤の金魚の割合は確かに「2/5」ではあるのだけれども、それは「(1＋1)/(2＋3)＝2/5、あるいは1/2x2/5＋1/3x3/5=2/5」という計算式によって導けるもので、「1/2＋1/3」で表せるものではない、ということです。

また、この高校生の計算式の変なところは、「割合は足せない」のではなく「何の割合であるのかの基準が異なるから」ではないかと。上のコメントに示されているように、1/2リットルの水と、1/3リットルの水を足して5/6リットルになるというのは、全て「1リットル」という共通の基準に於いての割合である(から加算が成り立つ)のに対し、高校生が述べた金魚の話では、最初の1/2というのは2匹の金魚を基準にしたものだし、次の1/3は3匹の金魚を基準にしたもので、「何を1としているのか」がバラバラです。おかしいところはこういう部分ではなかろうかと思います。


↓メガネ好きさん＞あのーだから、現実には「1/2＋1/3＝2/5」という数式はおかしい訳で、ではそれをおかしいと言うにはどう説明すれば良いのか、ってのが本題じゃないんですかい？ついでに上の「状況によっては、1/2＋1/3＝2/5が正しい場合もある」とか違うと思うんですが。

高校生の主張のなかでは「数式の表現」と、「意図した意味」は一致しているのではないかなと・・・

「数式の表現」＝１／２＋１／３＝２／５

「意図した意味」＝「なぜならば、赤い金魚と黒い金魚がいる水槽があって、
　「２匹のうち１匹が赤」の金魚と、　
　「３匹のうち１匹が赤」の金魚を一緒にしたら、
　「５匹のうち２匹が赤」の金魚になるから。」


「2匹のうち1匹がの金魚」＝１／２
「3匹のうち1匹が赤の金魚」＝１／３
「一緒にしたときの赤の金魚」＝「2匹のうち1匹がの金魚」＋「3匹のうち1匹が赤の金魚」
１／２＋１／３＝２／５

> メガネ好き さん

通常の「加算」が表現している意味と意図した意味は違っています．一致していれば 1/2 + 1/3 = 5/6 という答が出ます．この高校生は２重の間違い（数式表現と分数計算とで）をして，たまたま正解と一致したというだけです．

ただし，+ という記号を「特殊な加算」として使えば，1/2 + 1/3 = 2/5 ということはあり得ます．つまり，分数は約分してはならず，かつ，分母同士の和と分子同士の和を求めて比をとる演算として + を定義すれば，そうなります．それは，ベクトルの和を求めると同じですから，(1, 2) + (1, 3) = (2, 5) と普通のベクトルの足し算で意図した意味が表現でき，欲しかった答も得られます．

盛り上がってますね
まったくもって考えが纏まっていないのですが、
纏まっていないからこその質問です。

そもそも、分数の足し算の定義って何なのでしょう？
（あるいは分数の足し算が何故必要なのかと言った方がいいかもしれません）
学校で教わった分数の足し算の答えは、
1/2+1/3=5/6　が正解で、1/2+1/3=2/5　は不正解です。何故？？？

“分数の足し算”において、分母の大きさ（量）は同じでなければならない。
（1/2の2と、1/3の3の大きさ（量）は、足し算になった途端同じでなければならなくなる）
これは、"正"でしょうか？（私は正だと思っています）
"正"だとすると、何故そうじゃないといけないのでしょうか？という質問です。
"正"でなければどうしましょ

どなたかおバカなpontaにわかりやすく 教えてくださいまし。
いきなりレベルを落としてごめんなさいませ

ITEMAEさんへ
出題の意図と違いましたら削除してくださって構いません。
でも、答えが知りたい…

このスレの問いが、
「おかしいとこ」の証明であり、
「【常】におかしいこと」の証明ではないってことですね

コメにコメ（コメへの返事にはなってないかもですが・・・）
高校生の考えの対象が「分数の足し算の全て」なら
高校生の理屈は常におかしいが、
「１／２　＋　１／３　＝　２／５」にのみ、
「なぜならば、赤い金魚と黒い金魚がいる水槽があって、
　「２匹のうち１匹が赤」の金魚と、　「３匹のうち１匹が赤」の金魚を一緒にしたら、
　「５匹のうち２匹が赤」の金魚になるから。」といってるだけならおかしくない。

「３匹のうち１匹が赤」ってことは
「３匹のうち２匹が赤で無い」

赤１匹＋赤で無い２匹を
高校生の分数表現で足すと１／３＋２／３＝３／６

なので、高校生の理屈はおかしい

＞（担任に聞いた実話。ただし１０年以上前）、どこがおかしいでしょうか？
…でしょ？　　答：「担任に聞いた実話」っていうところがおかしい。　

「某現役高校生が堂々と展開した理屈」というのをその場にいなかった人が
実話かどうか分からないのに「先生が言ったから実話だ」と思うようじゃ…
のような意味のことをどこかで聞いたことがあるかも。　 　ダダダッ…（逃）